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 #1 - 18-08-2010 16:41:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4865

fâteau 27

Un peu dans le même style que le gâteau 25 du SingeMalicieux mais en plus difficile smile

Un client grincheux a commandé un gâteau mais ses explications étaient tellement claires ( un peu comme les miennes lol ) que mon pâtissier a réalisé un gâteau dont la face supérieure était un polygone convexe à n côtés ( n plus grand que quatre ) . Le  client mal embouché n’a pas du tout apprécié la réalisation et a exigé que le gâteau soit découpé de façon à ce que la face supérieure du gâteau forme un quadrilatère .

http://img706.imageshack.us/img706/4281/quadrilatre.jpg

Le pâtissier a réussi à satisfaire le client en conservant au gâteau au moins la moitié de son volume initial , est-ce toujours possible quelque soit la forme du début ?

Amusez-vous bien big_smile

Vasimolo

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] Considérer les diagonales du quadrilatère .
Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] ABCD est choisi au hasard et on augmente son aire en remplaçant successivement A par A' , B par B' , ...

http://a.imageshack.us/img830/6320/indicesi.jpg



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#0 Pub

 #2 - 20-08-2010 12:08:07

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Gââteau 27

Vu le dessin illustrant le problème, j'ai supposé que la règle de découpe du quadrilatère consiste à choisir 4 sommets du n-polygone initial...

Dans ce cas, si on un pentagone régulier comme gateau initial, il n'y a qu'un choix de découpe du quadrilatère - aux symétrie près - et la surface du quadrilatère sera supérieure à celle de la partie restante :
http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-gateau27.JPG

La réponse est donc NON.

 #3 - 21-08-2010 11:54:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4865

Gâteaau 27

Toujours pas de réponse ( dylasse s'est fait piéger par la formulation initialement peu claire du problème ) .

J'ai ajouté un petit indice qui devrait vous aider smile

Vasimolo

 #4 - 21-08-2010 23:33:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4865

gâteai 27

Vu la faible participation j'ai ajouté un autre indice beaucoup plus précis smile

Vasimolo

 #5 - 22-08-2010 21:28:52

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 947

gâyeau 27

http://www.prise2tete.fr/upload/scrablor-gateau27.png
J'inscris le gâteau entre les deux parallèles rouges. Le contact se fait en deux sommets qui me font une diagonale verte. Je place alors les deux parallèles de part et d'autre de cette diagonale verte. Je trouve ainsi deux triangles qui valent la moitié des parallélogrammes qui les contiennent. Et le gâteau primitif est entièrement contenu dans ces deux parallélogrammes.
NB : Si par hasard les deux sommets du segment vert sont consécutifs sur le gâteau, alors il y a une solution triangulaire. Si on la complète en quadrilatère, on gagne encore en surface...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #6 - 22-08-2010 23:55:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4865

Gâteaau 27

Bravo scrablor smile

L'idée est en effet d'inscrire le polygone dans un parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux segments reliant les points de contact entre le polygone et le parallélogramme . L'aire du quadrilatère est égale à la moitié de celle du parallélogramme qui est supérieure  à celle du polygone .

http://img833.imageshack.us/img833/6864/solution.jpg

Un gâteau qui n'a pas fait saliver grand monde hmm

Merci aussi à dylasse que j'ai induit en erreur en demandant que le patissier conserve la moitié de son gâteau smile

Vasimolo

 #7 - 23-08-2010 07:17:55

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1929
Lieu: UK

Gâteau 2

Je m'etais egare sur les terres du theorme de Pick puis sur celle de la triangulation...
La reponse me semble si simple! roll


The proof of the pudding is in the eating.

 #8 - 23-08-2010 16:01:34

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Gâtteau 27

Pareil : ce n'est pas que je n'ai pas aimé ce gâteau, c'est que je ne voyais pas par où l'entamer... Ca a l'air si simple que je m'en veux de ne pas avoir eu l'idée... Bravo smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 23-08-2010 16:50:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4865

Gââteau 27

En fait mais si la fin est la même , la méthode de scrablor n'est pas tout à fait celle que j'avais employée et commencée à décrire dans mon indice .

scrabor part d'un diamètre du polygone et enferme le polygone entre deux bandes dont une est parallèle au diamètre .

J'étais parti d'un quadrilatère quelconque ABCD dont les sommets sont aussi des sommets du polygone . S'il existe un point A' dans le même demi-plan que A mais plus loin que A de [BD] on remplace A par A' . On remplace B par B' plus loin de [A'C] que B ... Comme à chaque remplacement l'aire augmente , le procédé doit s'arrêter ( il y a un nombre fini de sommets ) . Il n'y a plus qu'à tracer les parallèles aux diagonales du nouveau ABCD pour conclure .

Vasimolo

 

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