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 #1 - 14-07-2010 00:21:37

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

ztoile

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-etoile.jpg

Que vaut la somme des angles aigus des 7 branches de cette étoile? (justification souhaitée)



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 #2 - 14-07-2010 05:28:57

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Etolie

En partant d'un point de l'étoile, et en faisant le tour, (disons en trounant vers la gauche), on tourne à chaque coin d'un angle de [latex]\pi - \theta_i[/latex] (dans le sens trigonometrique), où [latex]\theta_i[/latex] est l'angle aigu positif du [latex]i[/latex]-ème point. Au final, on a fait exactement 3 tours (faire le chemin), donc :
[TeX]3 \times 2 \pi = 7 \pi - \sum \theta_i[/TeX]
et donc
[TeX]\sum \theta_i = \pi[/TeX]
d'ailleurs, il me semble que le problème est le même pour toute étoile du même style (nombre premier de sommets, avec un vrai structure d'étoile bien régulière, notament l'ordre des sommets, ou le fait que chaque branche coupe toutes les autres (sauf celles qui ont un commet commun)). Il suffit d'imaginer que l'on reporte tous les angles de l'étoile parfaite sur un point central pour voir que l'on prend un angle sur deux sur le cerlce : donc [latex]\pi[/latex]. Mathématiquement, on peut montrer que l'on fait [latex]\frac{p-1}{2}[/latex] tours, ce qui donnerait :
[latex]\frac{p-1}{2} 2 \pi = p \pi - \sum_{i=1}^{p} \theta_i[/latex],

d'où :
[latex]\sum_{i=1}^{p} \theta_i = \pi[/latex].

Bref, on fait toujours une somme de [latex]\pi[/latex] !

 #3 - 14-07-2010 09:36:48

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 941

ztoile

http://www.prise2tete.fr/upload/scrablor-etoile7.png
Je pose mon grand crayon sur le segment [AG] et je le fais pivoter autour de A pour qu'il vienne recouvrir [AB] : cela fait un angle a.
Puis je le fais tourner autour de B, toujours dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, pour qu'il recouvre [BC]. Angle b.
Et cetera.
Si on a bien observé, on voit que le crayon finira par recouvrir [GA], ayant fait exactement un demi-tour.
Conclusion : a+b+c+d+e+f+g=180°.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 14-07-2010 14:26:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4751

etoike

Une solution un peu longue , on peut sûrement faire mieux wink

http://a.imageshack.us/img143/7283/septangles.jpg

On cherche : T= b+e+h+k+m+n+p

En utilisant la somme des angles dans ABE , BCF et CDG :

T=b+e+h+k+540-(b+c+d+e+e+f+g+h+h+i+j+k)=540-(c+d+e+f+g+h+i+j)

puis en observant les angles du triangle ACD et ceux en B :

T=180 .

Amusant smile

Vasimolo

 #5 - 14-07-2010 14:58:39

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

ztoile

Déjà 3 bonnes réponses de McFlambi, scrablor et Vasimolo.

Il existe une preuve sans aucun calcul, scrablor l'a trouvée.

... et aussi McFlambi wink

 #6 - 14-07-2010 17:32:38

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Eoile

Le passage sur le reportage des angles sur un seul point fait aussi office de démonstration sans calculs... à moins que faire [latex]2\pi[/latex] divisé par [latex]2[/latex] soit considéré comme un calcul (et ce n'est pas valable uniquement pour l'étoile parfaite, mais pour tout étoile, ou chaque angle aura son opposé "vide")

exemple avec la tienne (désolé pour la dégradation de l'image)
http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-looozer-etoile2.jpg

 #7 - 16-07-2010 00:33:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4751

Etolie

J'ai une solution "quasiment" sans calcul mais tellement tordue mad

On complète chacun des angles de façon à former sept parallélogrammes et en reliant les sommets extérieurs on obtient un heptagone .

http://img192.imageshack.us/img192/991/septangles2.jpg

Les parallèles font que l'on retrouve des angles égaux à plusieurs endroits sur la figure . Pour ne pas surcharcher les explications , j'ai colorié en vert ( par exemple ) deux segments formant un angle égal à l'angle 7 noté lui aussi en vert . Si on ajoute tous les angles au sommet de l'heptagone , on trouve sept fois l'angle plat auquel il faut enlever deux fois la somme des sept angles cherchés . Comme la somme des angles d'un heptagone fait cinq plats , on a le résultat voulu .

Tout cela est quand même bien lourd et j'attends la solution avec impatience smile

Vasimolo

 #8 - 17-07-2010 13:11:40

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

Eotile

Merci et bravo à vous qui avez participé à cette énigme.

Voici l'illustration d'une solution sans calcul (le crayon de scrablor smile).

On tourne constamment dans le même sens et après avoir parcouru tous les angles, on remarque qu'on a fait un demi-tour, soit 180°.

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-etoile_solution.jpg

 #9 - 19-07-2010 09:29:18

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Eoile

le puriste dirait que le "on remarque" n'est pas une démonstration. Ce qui est intéressant à mon avis, c'est que ca reste 180° pour toute étoile à p sommets (avec p premier) !

 #10 - 19-07-2010 09:56:53

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

etoike

à Mcflambi

place sur un cercle les 7 sommets d'un heptagone régulier. relie les en tournant autour du cercle mais en en sautant deux à chaque fois, tu obtient une étoile et de meme en en sautant un a chaque fois, tu obtient une seconde étoile.

la somme des angles est différente pour les deux étoiles ainsi obtenues.

il y a quelque problemes interessant avec cette facon de construire les étoiles. Si je n'ai pas été trop obscur et si ca t'interesse je peux te les poser.


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #11 - 21-07-2010 05:52:24

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Etoilee

je sous-entendait dans étoile que chaque branche coupe toutes les autres (mis à part celles issues de sommet commun) (et pas des grosses étoiles boudinées comme quand tu saute qu'un sommet wink)

 #12 - 24-07-2010 16:04:07

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4751

Etoil

Très joli , et je n'avais rien vu hmm

Vasimolo

 

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