Peut-être que le problème n'avait pas grand intérêt

Mais si on est intéressé on peut jeter un coup d’œil à wiki :http://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrilat% … scriptible

Voilà ce que j'ai trouvé:

Spoiler : [Afficher le message] Soit [latex]A[/latex] l'aire recherchée. On note [latex]O[/latex] le centre du cercle circonscrit au quadrilatère [latex]ABCD[/latex], [latex]\theta[/latex] l'angle [latex]\widehat {AOB}[/latex], [latex]I[/latex] le milieu de AB, [latex]x[/latex] la longueur[latex]IO[/latex] et [latex]a, b, c, d[/latex] représentent les longueurs [latex]AB, BC, CD  et  DA[/latex].



On a: [latex]A=A(secteur(A,B))-A(ABO)=\frac12  r^2 \theta - \frac {ax}{2}[/latex]

Comme [latex]ABCD[/latex] est un quadrilatère inscriptible, on en déduit le rayon [latex]r[/latex] de son cercle circonscrit:
[TeX]r=\frac14 \sqrt{\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}[/latex] avec [latex]s=\frac {a+b+c+d}{2}[/TeX][TeX]a=9.85,  b=10,  c=12,  d=8[/TeX]
[TeX]s=19.925[/TeX]
On obtient:  [latex]r\approx7.119[/latex]


Dans le triangle rectangle [latex]AIO[/latex]:
[TeX]\sin \frac{\theta}{2}=\frac {AI}{AO}=\frac{a/2}{r}[/latex] d'où
[latex]\theta=2\arcsin\frac{a}{2r}[/TeX]
d'où [latex]\theta\approx1.528  rad[/latex]

On a aussi:
[TeX]AO^2=AI^2+IO^2  donc  x=\sqrt{r^2- \left(\frac{a}{2}\right)^2}[/TeX]
d'où [latex]x\approx5.141[/latex]

Finalement:

[latex]A=\frac12  r^2 \theta - \frac {ax}{2}\approx13.401[/latex]