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 #1 - 27-09-2010 17:16:08

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Les mega-terrrestres 6

J'ai enfin passé cette fichue porte!  Maintenant on me pose une question de m.....ega terrestres! On me propose la séquence suivante
A^B=B^A
On me demande quelle est la valeur de B et de A. On me demande aussi toutes les solutions qui vont jusqu'a 30.
Trouvez les valeurs.



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 #2 - 27-09-2010 22:40:50

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2210

les mega-terrzstres 6

Si ^ correspond bien à l'exposant, tous les couples (A, B) tels que A = B marchent.
Et on peut ajouter les couples (2, 4) et (4, 2).
Et ça doit être tout.

 #3 - 28-09-2010 00:33:20

gelule
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 778

Lees mega-terrestres 6

A=2
B=4
et vice versa, c'est tout.

 #4 - 28-09-2010 10:52:41

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

les mega-terresyres 6

L'égalité est vérifiée lorsque B=A évidemment (y compris A=B=0) et aussi pour: 2^4=4^2.
Il ne semble pas y avoir d'autre solution (difficile à démontrer simplement à mon goût).

Après plus de réflexion, voici une preuve:

Eliminons les cas (évidents) a=0 (dans ce cas b=0) et a=1 (dans ce cas b=1) et posons b > a (tous les cas a=b sont solutions évidentes, on cherche les autres)
[TeX]a^b=b^a \Leftrightarrow \dfrac{ln(b)}{b}=\dfrac{ln(a)}{a} [/latex] avec les restrictions précédentes.
Posons donc [latex]f(x)=\dfrac{ln(x)}{x}[/latex]. Pour a fixé, on cherche b tel que f(b)=f(a).
Etudions de façon classique cette fonction (je vous laisse faire la dérivée, le petit tableau qui va bien et la courbe). On trouve que b tend vers [latex]-\infty[/latex] en 0, qu'elle est croissante de 0 à e ou elle atteint son maximum 1/e , passe par 0 en 1 et ensuite tend en décroissant vers 0 en [latex]+\infty[/TeX]
Donc si a > e et b > a, la fonction est décroissante stricte et on ne peut avoir f(b)=f(a).
Le seul cas à chercher est donc a=2 (a=1 est particulier et déjà traité).
On cherche donc b>2 donc >=3 (car entier) tel que f(b)=f(2).
Etant donné la décroissance stricte de f dans l'intervalle [latex][e, +\infty[[/latex], si b existe, b est unique.

Or on a trouvé (solution évidente) que f(4)=f(2), c'est donc la seule solution.

Si f(4) n'est pas évidente, chercher f(b)=f(2) (revenons à la base) c'est chercher b tel que [latex]2^b=b^2[/latex]. [latex]b^2[/latex], donc b est donc une puissance de 2. On écrit [latex]b=2^x[/latex] et on a: [latex]2^{(2x)}=2^{(2^x)} \Rightarrow 2x=2^x \Rightarrow x=2^{x-1}[/latex]
x=2 est une solution évidente (si ça ne l'est toujours pas, plus d'espoir).

En résumé: si a et b sont différents, la seule solution est [latex]2^4=4^2[/latex].
CQFD.

J'espère que je ne viens pas de traiter un devoir classique de terminale (http://www.ilemaths.net/forum-sujet-263870.html) smile

 #5 - 28-09-2010 11:11:43

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Les meega-terrestres 6

Tous les couples de valeurs (1,1), (2,2), etc. jusqu'à (30,30) font évidemment l'affaire. Je ne trouve comme autres couples possibles que les jumeaux (2,4) et (4,2).


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 28-09-2010 12:14:30

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1433

Les mega-tererstres 6

S'il s'agit de réels, alors ta réponse est ici
Sinon, mis à part les cas triviaux A=B, il n'y a qu'une double solution: A=2 et B=4 ou inversement A=4 et B=2

 #7 - 28-09-2010 12:21:44

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

les mega-tzrrestres 6

d'abord il y a le cas ou A=B
dans ce cas il y a une infinité de solutions telles que
0^0 = 0^0 = 1,
1^1 = 1^1 = 1,
2^2 = 2^2 = 4,
3^3 = 3^3 = 27, etc...
ensuite pour le cas ou A est different de B:
je crois qu'il n'y a qu'une solution:
2^4 = 4^2 = 16


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #8 - 28-09-2010 17:24:09

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Les mega-terrsetres 6

rivas, c'est pas 1 devoir de terminale, ca m'avancerai a quoi, je suis 1 5eme tinqiète


Un promath- actif dans un forum actif

 #9 - 28-09-2010 17:29:37

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Les megat-errestres 6

Salut Promath,

Je n'ai jamais pensé que c'était ton devoir à toi smile
Je me suis dit que je venais de mettre en ligne la solution d'un devoir de TS et que certains profs ne me remercieront pas smile

Le lien que je donne, donne l'impression que c'est en effet un thème de devoir de TS.

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