Si ^ correspond bien à l'exposant, tous les couples (A, B) tels que A = B marchent.
Et on peut ajouter les couples (2, 4) et (4, 2).
Et ça doit être tout.

L'égalité est vérifiée lorsque B=A évidemment (y compris A=B=0) et aussi pour: 2^4=4^2.
Il ne semble pas y avoir d'autre solution (difficile à démontrer simplement à mon goût).

Après plus de réflexion, voici une preuve:

Eliminons les cas (évidents) a=0 (dans ce cas b=0) et a=1 (dans ce cas b=1) et posons b > a (tous les cas a=b sont solutions évidentes, on cherche les autres)
[TeX]a^b=b^a \Leftrightarrow \dfrac{ln(b)}{b}=\dfrac{ln(a)}{a} [/latex] avec les restrictions précédentes.
Posons donc [latex]f(x)=\dfrac{ln(x)}{x}[/latex]. Pour a fixé, on cherche b tel que f(b)=f(a).
Etudions de façon classique cette fonction (je vous laisse faire la dérivée, le petit tableau qui va bien et la courbe). On trouve que b tend vers [latex]-\infty[/latex] en 0, qu'elle est croissante de 0 à e ou elle atteint son maximum 1/e , passe par 0 en 1 et ensuite tend en décroissant vers 0 en [latex]+\infty[/TeX]
Donc si a > e et b > a, la fonction est décroissante stricte et on ne peut avoir f(b)=f(a).
Le seul cas à chercher est donc a=2 (a=1 est particulier et déjà traité).
On cherche donc b>2 donc >=3 (car entier) tel que f(b)=f(2).
Etant donné la décroissance stricte de f dans l'intervalle [latex][e, +\infty[[/latex], si b existe, b est unique.

Or on a trouvé (solution évidente) que f(4)=f(2), c'est donc la seule solution.

Si f(4) n'est pas évidente, chercher f(b)=f(2) (revenons à la base) c'est chercher b tel que [latex]2^b=b^2[/latex]. [latex]b^2[/latex], donc b est donc une puissance de 2. On écrit [latex]b=2^x[/latex] et on a: [latex]2^{(2x)}=2^{(2^x)} \Rightarrow 2x=2^x \Rightarrow x=2^{x-1}[/latex]
x=2 est une solution évidente (si ça ne l'est toujours pas, plus d'espoir).

En résumé: si a et b sont différents, la seule solution est [latex]2^4=4^2[/latex].
CQFD.

J'espère que je ne viens pas de traiter un devoir classique de terminale (http://www.ilemaths.net/forum-sujet-263870.html)

S'il s'agit de réels, alors ta réponse est ici
Sinon, mis à part les cas triviaux A=B, il n'y a qu'une double solution: A=2 et B=4 ou inversement A=4 et B=2

rivas, c'est pas 1 devoir de terminale, ca m'avancerai a quoi, je suis 1 5eme tinqiète