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 #51 - 11-11-2010 13:07:00

Yannek
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l'hotel de k'infini

D'accord avec toi rivas (je n'avais pas compris ta remarque, j'ai cru que tu doutais de la convergence de la série de supercab : c'est d'elle dont je parlais lorsque j'ai dit qu'elle était a terme positifs : j'aurais dû être plus précis).

#0 Pub

 #52 - 11-11-2010 13:36:38

MthS-MlndN
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l'hotzl de l'infini

@Nombrilist : en fait, tu as raison. Ca ne marche que quand on fait directement tendre n vers l'infini. Sinon, il faudrait ajouter quand même la condition p<=n, q<=n dans la somme de droite.


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 #53 - 21-12-2010 00:40:54

Camille739
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l'hotel de l'indini

sily a une infinité de chambres je vois pas ou est le souci, ou jsuis pas douée ou il est tard, jy reviendrai

 #54 - 21-12-2010 21:12:14

MthS-MlndN
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L'hotel de l'infiini

Tous les infinis n'ont pas la même taille.

Par exemple, une fonction qui, à chaque entier, associe un réel différent, ne peut pas être bijective (dit plus simplement : si on crée des couples du type "un entier + un réel", on aura fini de donner des partenaires à tous les entiers qu'une infinité de réels resteront encore sur le carreau, ou la béquille, je te laisse le choix de l'image).

Le problème parle de ça : peut-on faire rentrer une infinité supplémentaire de gens dans l'infinité de chambres ? Autrement dit, l'infini des nouveaux arrivants est-il du même ordre que l'infini des chambres, ou est-il énorme devant le nombre de chambres ?


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 #55 - 21-12-2010 23:15:20

rivas
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L'hotel de l'nifini

Pour rajouter encore à ce que dit Mathias, quand on aura associé un réel à chaque entier il restera encore "infiniment plus" de réels que d'entiers. On peut recommencer à associer un second réel à chaque entier et ainsi de suite à l'infini et il restera encore "infiniment plus" de réels que d'entiers. Cette mise en abîme donne le tournis...

 #56 - 22-12-2010 12:39:50

MthS-MlndN
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l'gotel de l'infini

On en remet une couche ? lol Je vais illustrer rapidement ce que tu dis.

J'associe à chaque entier le réel qui lui est égal ; j'obtiens l'infinité de valeurs

... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...

J'associe à chaque entier le réel qui vaut cet entier plus un demi :

... ; -2,5 ; -1,5 ; -0,5 ; 0,5 ; 1,5 ; 2,5 ; 3,5 ; ...

J'associe à chaque entier le réel qui vaut cet entier plus un centième :

... ; -2,99 ; -1,99 ; -0,99 ; 0,01 ; 1,01 ; 2,01 ; 3,01 ; ...

J'associe à chaque entier le réel qui vaut cet entier plus pi :

... ; -1,8584... ; -0,8584... ; 0,1415... ; 1,1415... ; 2,1415... ; ...

Combien de listes différentes de réels puis-je construire ainsi ? Une infinité. Une infinité de listes infinies. Aouch.


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 #57 - 22-12-2010 14:11:33

rivas
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l'hptel de l'infini

Toutes ces couches qu'on remet depuis ce matin smile Ca doit être la neige qui nous fait ça.

Juste un commentaire: Il est important que toutes tes suites ci-dessus soient disjointes (le raisonnement le nécessite)...
Cette liste reste une liste dénombrable d'ensemble dénombrables. Il y a donc énormément plus de réels que ça. Et alors de fonctions, n'en parlons même pas.... smile

 #58 - 22-12-2010 14:36:51

Nicouj
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l'hoyel de l'infini

Attention

Notre interprétation usuelle des suites de chiffres par des réels n'est pas une bijection.
C'est juste une surjection. Il y a plus de suites que de réels.


Donc en prouvant que l'ensemble des suites infinies de chiffres de la base dix est indénombrable, on a pas du tout prouvé que l'ensemble des réels est indénombrable.

 #59 - 22-12-2010 16:03:07

rivas
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L'hotel d el'infini

Je suis certain que certains de nos jeunes (et moins jeunes) lecteurs (sur le ton de la RAB smile) peuvent comprendre une version simplifiée de la non-dénombrabilité des réels, ou dit plus simplement, qu'il y a "plus" de réels que d'entiers ou encore qu'on ne peut pas associer un entier à chaque réel.

On va même montrer que c'est vrai pour l'intervalle I=[0, 1[ et donc encore plus vrai pour l'ensemble des réels. Si on pouvait associer un entier à chaque réel de I, on aurait construit une fonction de [latex]\mathbb{N} \rightarrow I: n \rightarrow a_n[/latex]. (A noter qu'une fonction dont le domaine de définition est [latex]\mathbb{N}[/latex] s'appelle une suite). Donc pour chaque réel de I on pourrait trouver un entier dont ce réel est l'image.
Je construis donc maintenant un réel x de la façon suivante:
x=0,b0b1b2b3b4.... ou b0 est un chiffre différent du premier chiffre après la virgule de a0 et aussi différent de 9 (important mais je ne vais pas rentrer dans le détail ici pour simplifier). b1 est un chiffre différent du second chiffre après la virgule de a1, ...

x est évidemment un réel appartenant à I.

(1) D'après notre hypothèse, il existe donc [latex]n_0[/latex] tel que [latex]a_{n_0}=x[/latex]. MAIS par construction de x, le [latex](n_0+1)[/latex]-ième chiffre après la virgule de [latex]a_{n_0}[/latex] est différent de [latex]b_{n_0}[/latex], [latex](n_0+1)[/latex]-ième chiffre après la virgule de x. D'après l'unicité de l'écriture décimale propre des nombres (c'est ici que de ne pas avoir pris de 9 est capital), x ne peut être égal à [latex]a_{n_0}[/latex]. D'où contradiction.

On en déduit (par l'absurde) qu'une telle association entre [latex]\mathbb{N}[/latex] et I ne peut exister.

On pourrait aussi conclure à partir de (1) en disant: x ne peut être égal à [latex]a_0[/latex] car le 1er chiffre après la virgule est différent entre eux, x ne peut être égal à [latex]a_1[/latex] car le deuxième chiffre après la virgule est différent et de fait x n'est égal à aucun des [latex]a_n[/latex], ce qui entraîne une contradiction.

J'espère avoir fait assez simple sans avoir dénaturé la démonstration (une des plus belles parmi les "simples" à mon goût). Cette démonstration s'appelle la diagonale de Cantor.

 #60 - 23-12-2010 09:15:10

Nicouj
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LL'hotel de l'infini

J'ai beaucoup aimé la diagonale de Cantor a chaque fois que je l'ai rencontrée en cours.

Maintenant moins pour deux raisons :

- dans le cas des réels, on prouve la non-dénombrabilité de suites infinies de chiffres et non des réels. La preuve n'est pas finie. Si on enlève les 9 dans les suites de chiffres, on doit pouvoir mettre en bijection ces suites sans 9 avec un sous ensemble des réels mais ça me semble pas trivial.

- ce n'est pas une preuve constructive. On explique qu'on construit une suite dont on montre qu'elle n'appartient pas aux suites déjà indexées, mais en réalité on ne saurait pas la construire. Moralement, il y a qque chose qui me déplait dans le procédé.

 #61 - 23-12-2010 10:08:01

rivas
Elite de Prise2Tete
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'hotel de l'infini

Bonjour Nicouj,

Je suis un peu "confusionné" par tes commentaires.
Permets moi d'y répondre.
Il me semble que tu ne considères pas un réel comme la suite infinie de ses chiffres (avec les bons 10^k ou 10^-k) - je parle de l'écriture propre, c'est pour cela qu'on exclut les 9 (sinon on pourrait risquer de tomber sur l'écriture impropre: tout réel a exactement 2 écritures en base 10).
Est-ce juste la suite des chiffres ou l'approche des réels par la limite d'une suite?
Cela me perturbe un peu car je trouve cette approche très valable et d'une certaine façon c'est comme ça qu'on construit formellement les réels: comme limite d'une suite infinie (coupures: plus précisemment comme limite commune de 2 suites convergentes, une croissante, une décroissante et dont la limite de la différence tend vers 0 pour être précis).

La démonstration de la diagonale est une démonstration par l'absurde. Est-ce cette partie qui te "dérange"? Mais sinon je la trouve constructive: on exhibe (construit) un réel qui n'est pas une image par la bijection (donc surjection) que l'on prétend qui existe. C'est vrai qu'on ne construit pas la bijection elle-même, mais c'est justement parce qu'elle ne peut pas exister. C'est un peu le principe de base d'une démonstration par l'absurde. Sinon on démontrerait directement l'existence.

J'espère avoir pu proposer des éléments de réflexion. Merci de ton commentaire en tout cas.
Bonne journée.

 #62 - 23-12-2010 11:50:17

Nicouj
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l'hotel de k'infini

En fait mes deux remarques sont des points qui m'ont vraiment beaucoup perturbé à une époque (euh toujours en fait ^^) et qui font que maintenant encore j'ai beaucoup de mal à vraiment appréhender la notion de réels.

J'ai longtemps considéré que les réels étaient exactement les suites infinies de chiffres de la base 10 car c'est ce qu'on apprend.
Puis j'ai appris que les suites ne sont pas les réels mais des représentations de ces réels.
Puis j'ai appris que cette représentation est redondante (écriture propre et impropre).
Puis j'ai appris qu'on ne peut même pas définir un algorithme d'addition sur cette représentation.
Finalement j'ai carrément douté qu'une suite quelconque de chiffres représente forcément un réel ^^. Mais une amie m'a ramené à la raison.

Mon premier point est vraiment de faire remarquer que la diagonale de Cantor prouve en réalité la non-dénombrabilité des suites infinies et l'on se satisfait trop facilement pour conclure à la non-dénombrabilité des réels directement car il faudrait montrer qu'il y a autant de réels que de suites infinies.

La preuve (je parle encore de Cantor) est non constructive car elle utilise l'absurde donc le tiers exclus. La preuve ne nous aide pas a trouver du sens à ce que l'on veut prouver mais à trouver du non-sens à son sa négation. 
En pratique dans la preuve on suppose l'existence d'une bijection entre suite infinies et entiers (pour la réfuter bien sûr) sans fournir la construction de cette bijection. Ce qui est normal car l'intention est de prouver l'inverse. 



Un dernier point à propos des réels et qui alimente ma perturbation :
On fait véritablement la distinction entre les réels constructifs (appelés aussi calculables) et les réels non-constructifs.
Les réels constructifs sont ceux qu'on sait décrire et dont on parle.  Les réels non-constructifs sont les autres. On ne sait pas les décrire car sinon ils seraient constructifs.
Et on montre que les réels constructifs sont dénombrables.
Au final que sont ces réels qui rendent l'ensemble indénombrable mais qui pourtant sont indescriptibles et qu'on ne rencontre jamais ?

 #63 - 23-12-2010 12:22:56

MthS-MlndN
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L'hotel de l'infnii

Je relève des points soulevés par Rivas et par Nicouj :

Rivas a écrit:

tout réel a exactement 2 écritures en base 10

Pas d'accord. Tout décimal a deux écritures, les autres n'en ont qu'une, je crois. Comment écrit-on 1/9 autrement que 0,111111... ?

Nicouj a écrit:

La preuve (je parle encore de Cantor) est non constructive car elle utilise l'absurde donc le tiers exclus.

Donc c'est une preuve constructive dans toute théorie mathématique récursivement axiomatisable ayant dans ses axiomes le principe du tiers exclu, non ?


Quant à la dernière remarque de Nicouj, euh... De quoi se casser la tête lol

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_r%C … calculable


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 #64 - 23-12-2010 13:00:53

rivas
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l'jotel de l'infini

@Mathias: Tu as raison, ce ne sont que les décimaux qui ont 2 écritures. Je me suis pris les pieds dans le tapis mais cela ne change pas le sens de mon propos ci-dessus.

@Nicouj: Je suis d'accord avec toi: la suite des chiffres d'un réel n'est pas le réel lui-même mais un représentation de celui-ci. Mais cela ne change pas la démonstration: on construit la représentation d'un réel existant qui n'est pas encore recensé. Le fait qu'on en construise une représentation équivaut à dire que le réel existe. Tu as raison, cela s'appuie sur la nécessité de prouver l'isomorphisme entre les représentations (propres pour les décimaux) de ce type des réels et les nombres qu'ils représentent mais cela est un autre problème (par ailleurs démontré) et on peut légitimement le supposer vrai dans le cadre de la démonstration de la diagonale de cantor.

Identiquement, la définition des réels par les coupures se fait par une approche de chaque réel. Il n'y a pas vraiment de moyen de définir un réel non rationnel "directement" (à l'aide de ses chiffres). Même pour les nombres algébriques (dénombrables et donc peu nombreux), on les définit à partir d'autre chose: [latex]\sqrt2[/latex]est la solution positive de x^2-2=0. En quoi cela donne-t-il sa valeur? En quoi est-ce meilleur que de dire que c'est la limite de la suite de ses chiffres? Ou la limite d'une suite (Un+1=(Un+2/Un)/2 par exemple) qui donne ses chiffres à chaque itération? Ou encore la limite de 2 suites adjacentes définissant une coupure dans [latex]\mathbb{Q}[/latex]?

Les nombres non-calculables, dont le fameux [latex]\Omega[/latex] sont en effet perturbants au premier abord. Mais en revenant réellement smile à la notion de nombre ils ne le sont pas tant que ça. C'est simplement que notre "éducation" mathématique nous a conditionné à définir un nombre avec des chiffres: les siens ou ceux d'une équation le définissant (voire même à confondre nombre et chiffre dans les cas extrêmes).
Il faut noter qu'être non-calculable pour un nombre ne veut pas dire qu'on ne connait aucun chiffre de sa représentation, simplement qu'on ne peut les connaitre tous. Il est souvent possible de calculer les premiers chiffres de sa représentation. Mais tous les autres chiffres existent aussi, c'est simplement qu'on ne peut pas les connaitre. La méthode de la diagonale peut donc très bien s'appliquer à eux aussi puisqu'on ne demande PAS de construire le nombre que j'ai appelé x ci-dessus mais seulement de prouver qu'il existerait. S'il emprunte des décimales à certains nombres non-calculables, il serait lui-même non calculable mais n'en existerait pas moins pour autant. C'est d'ailleurs comme cela qu'on démontre que les réels calculables sont dénombrables: grâce à la diagonale de Cantor. smile

Je trouve de ce point de vue 'i' bien plus perturbant. Quels sont ses chiffres ? smile
Il n'a pas de représentation habituelle (n'étant pas réel). Mais pourtant il ne nous pose pas de problème.

Merci en tout cas de ces discussions.
Qui aurait pensé que cette énigme nous emmenerait ici...

 #65 - 23-12-2010 13:11:40

Nicouj
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L'hotel d el'infini

@Mathias :  Pardon, j'ai raccourci constructiviste en constructive ><. Par définition une logique constructiviste n'admet pas le tiers exclus comme axiome.

@Rivas : Merci pour tes explications. J'ai toujours du mal a comprendre car ça a besoin de murir mais tu m'aides beaucoup et je vais surement encore te titiller big_smile.

 #66 - 23-12-2010 14:10:14

MthS-MlndN
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L'hotel de l'inini

Je m'agenouille devant Rivas et la surprenante pédagogie de son long monologue, avec lequel je me suis régalé smile


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 #67 - 23-12-2010 15:07:48

rivas
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LL'hotel de l'infini

Vous me flattez, arrêtez je vais rougir smile
J'ai raté une vocation de prof ayant été mal aiguillé mais j'aime bien encore essayer de faire passer des idées et des concepts. Alors de temps en temps ça me prend. Il ne faut pas vous inquiéter, j'essaye de ne pas trop y céder smile

@Nicouj: Je ne suis pas contre me faire titiller mais bon là ... smile Sérieusement, n'hésite pas si tu veux discuter de ces sujets, sur le forum ou en MP (mais les autres n'en profiteront pas dans ce cas).

Une dernière anecdote: j'ai déjà dit dans le fil qu'un jour mes enfants m'ont demandé ce qu'étaient les nombres et que j'avais été bien embêté de leur répondre. En CP, CE1 et CE2, ils "découvrent" les nombres, la file numérique comme ils disent et ils découvrent uniquement l'outil qu'est le nombre qui sert à faire des calculs. Je trouve cette approche opérationnelle mais très réductrice voire même bloquante. La question leur est d'ailleurs venue de savoir ce que c'était qu'un nombre comprenant bien qu'on leur apprend à s'en servir mais sans jamais leur dire ce que c'est. J'ai longtemps hésité sur la façon de leur répondre.

Et puis j'ai finalement dit: "Un nombre c'est une idée.". Avec ces idées on peut faire des calculs mais c'est avant tout une idée. Je leur ai dit qu'on pouvait construire tous les nombres (à leur niveau les entiers) avec l'idée d'un premier nombre, qu'on appelle 0 et qui représente "rien" et l'idée de "nombre suivant/successeur". Qu'on a ensuite utilisé ces idées pour nommer des ensembles de choses identiques et que le suivant c'est l'ensemble dans lequel il y a un objet de plus. Ils n'ont sans doute pas retenu les détails. Mais s'ils ont retenu: "Un nombre c'est une idée.", alors je serais content car l'essentiel sera fait. On pourra toujours re-creuser tout le reste par la suite.

 #68 - 25-12-2010 22:11:12

Khyros
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LL'hotel de l'infini

Bouwah, j'tenais juste à préciser qu'il existe des astuces assez simples pour loger l'infinité de touristes de l'infinité de cars, mais j'vous remercie pour tous les jolis messages échangés plus haut et le coup du 5/2 ^^

Bref en assignant au p-ième bus le p-ième nombre premier et au n-ième passager du bus la puissance n-ième du nombre de son bus, on s'en sort pas mal après avoir précisé que les nombres premiers sont bien un ensemble infini dénombrable ordonnable.

Ce qui nous fait d'ailleurs une répartition avec bien plus de chambres visiblement vides que de chambres remplies et qui a le mérite de faire rêver.

Joyeux Noel et nouvelle année en attendant ^^

 

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