Enigmes

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 #1 - 27-11-2010 13:46:23

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

primitive n-ièle de ln(x)

Bonjour à tous,

Ce n'est pas vraiment une énigme, mais comment exprimer une primitive n-ième de ln(x) en fonction de n ?



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 #2 - 27-11-2010 16:21:52

Fireblade
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 34

Primitive -ième de ln(x)

Avec les calculs des premières primitives, on trouve une relation que l'on peut démontrer par récurrence : la n-ième primitive de ln(x) est :
x^n/n!*ln(x)+P(x) ou P est un polynôme de degré n dont le terme de plus haut degré est -(n+1)/[2(n-1)!].
Par contre le polynôme P en lui-même me semble bien compliqué et je ne vois pas "de suite" de relation de récurrence facile pour avoir les termes!
Pourquoi avoir besoin de la n-ième primitive de ln(x) en dehors d'une recherche purement théorique (aussi belle que soit la démarche...)?

 #3 - 27-11-2010 16:50:07

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

Primitvie n-ième de ln(x)

[TeX]F_n(t)=\frac{t^n}{n!}\left(\ln t-\sum_{k=1}^n\frac 1k\right)[/TeX]

 #4 - 27-11-2010 16:50:29

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

primitibe n-ième de ln(x)

[TeX]\frac{1}{n!}x^n ln(x)+\frac{a}{(n!)^3}x^n[/TeX]
a ne me vient pas...

successivement
-1, -6, -66, -1200


The proof of the pudding is in the eating.

 #5 - 27-11-2010 17:09:16

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Primitivee n-ième de ln(x)

Une excellente réponse de Yannek !

Franck, ta formule a l'air correcte (en tout cas, tes 4 premières valeurs sont bonnes), mais toute la difficulté réside justement dans le calcul de ton a.

Fireblade, c'est un calcul juste pour s'amuser. ça demande un niveau de milieu de première année de classe prépa je pense. Bien que des outils de niveau de terminale soient suffisants.

 #6 - 27-11-2010 17:50:47

Filto
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 4

Primitive n-ièe de ln(x)

(-1)^(n+1) * (n-1)! / (x^n)

 #7 - 27-11-2010 18:06:24

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

rPimitive n-ième de ln(x)

Non Filto, ce n'est pas ça. J'ai dit primitive, pas dérivée.

 #8 - 27-11-2010 18:51:19

Filto
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 4

prilitive n-ième de ln(x)

Ah oui, en effet, je confond toujours les deux ^^.

Je suis en train de le refaire, je pense que je suis pas loin du but, j'éditerai quand j'aurais trouvé. (Si j'y parviens ^^)

 #9 - 27-11-2010 19:08:07

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1586

primitive n-ième dz ln(x)

Les premières primitives sont
x.ln(x) - x
x^2/2 * ln(x) -3x^2/4
x^3/6 * ln(x) - 11x^3/36

Hypothèse: la primitive n-ième est de la forme suivante
(x^n)/n! * ln(x) - A(n)*x^n/(n!)^2
Dans cette expression, A(n) est une valeur qui dépend de n

Hypothèse qui se vérifie aux premiers rangs.

Posons U = ln(x), V' = (x^n)/n!; on a
V = (x^(n+1))/(n! * (n+1)) = x^(n+1)/(n+1)!
U' = 1/x
U'V = (x^n)/(n+1)!
Donc une primitive de U'V est 1/(n+1) * x^(n+1)/(n+1)!
Donc une primitive de UV' est x^(n+1)/(n+1)! * ln(x) - 1/(n+1) * x^(n+1)/(n+1)!

Reste à calculer une primitive de A*x^n/(n!)^2
Elle vaut A*x^(n+1)/(n! * (n+1)!)
Donc notre primitive n+1-ième vaut

x^(n+1)/(n+1)! * ln(x) - 1/(n+1) * x^(n+1)/(n+1)! - A*x^(n+1)/(n! * (n+1)!) =
x^(n+1)/(n+1)! * ln(x) - (x^(n+1) [n! + A*(n+1)]) /((n+1)!^2)

CQFD.
Au passage, A(n+1) = n! + A(n) * (n+1),avec A(0) = 0

 #10 - 27-11-2010 19:16:11

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Primitive n-ième de ln((x)

Scarta, tu es sur la bonne voie. Je suis passé par la même méthode que toi. Mais tu peux encore simplifier et faire disparaître ta suite A(n) en l'exprimant simplement en fonction de n.

 #11 - 27-11-2010 19:31:57

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Primitive n-ième d ln(x)

Pfiouh.

Je vais partir d'une primitive de [latex]\ln(x)[/latex], à savoir [latex]x \ln(x) - x[/latex]. Je cherche de la même façon une primitive de [latex]x \ln(x) - x[/latex] :
[TeX]\left( \frac{x^2}{2} \ln(x) \right)' = x \ln(x) + \frac{x}{2} \Rightarrow \left( \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{3 x^2}{4} \right)' = x \ln(x) - x[/TeX]
Une deuxième primitive de [latex]\ln(x)[/latex] est donc [latex]\frac{x^2}{2} \left( \ln(x) - \frac{3}{2} \right)[/latex].

Je me permets de supposer qu'il faudra un terme en [latex]\frac{x^3}{6} \ln(x)[/latex] la fois suivante (pour retomber sur le terme en [latex]\frac{x^2}{2} \ln(x)[/latex] en dérivant), et on ajoutera un terme en [latex]x^3[/latex] sur quelque chose pour virer l'autre terme obtenu en dérivant [latex]\frac{x^3}{6} \ln(x)[/latex]...

Pour la primitive n-ième, on obtiendra donc probablement, selon ce même schéma, quelque chose du genre [latex]\frac{x^n}{n!} \left( \ln(x) - a_n \right)[/latex] avec [latex]a_n \in \mathbb{R}[/latex]. On va dériver ce truc :
[TeX]\left( \frac{x^n}{n!} \left( \ln(x) - a_n \right) \right)' = \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \left( \ln(x) - a_n \right) + \frac{x^{n-1}}{n!} = \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \ln(x) + (1 - n a_n) \frac{x^{n-1}}{n!}[/TeX]
Euh... récurrence ? La flemme de faire ça ce matin hmm


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #12 - 27-11-2010 19:53:19

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Primitivve n-ième de ln(x)

Mathias, tu y es presque. En deux lignes de calculs supplémentaires (factorisation), la valeur de ta suite an devient évidente.

 #13 - 28-11-2010 08:55:12

Fireblade
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 34

Primitive n-ième de ln(x))

Nombrilist : ma réponse n'est pas bonne? Une primitive est de la forme [latex]\frac{x^n}{n!}-\frac{x^n}{n!}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}[/latex] et TOUTES les primitives s'obtiennent en ajoutant un polynôme de degré n-1 (dont la dérivé n-ième sera nulle)?
Pour la démo, la récurrence ne pose pas de soucis, mais est longue à taper... big_smile

Edit : grosse erreur sur la somme des inverses confondue avec la somme des entiers...

 #14 - 28-11-2010 11:08:29

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1586

primitibe n-ième de ln(x)

Ben mon A(n) tu peux l'écrire sous forme d'une somme ou encore d'un nombre de Stirling, mais je vois pas bien l’intérêt, étant donné qu'on ne peut pas le calculer sans passer par les termes précédents...

 #15 - 28-11-2010 11:24:16

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Primitive n-ième e ln(x)

Bonne réponse de Fireblade à une erreur d'étourderie près smile.

Scarta, l'expression de A(n) en fonction de n est assez simple. Mathias touchait au but.

 #16 - 28-11-2010 12:12:47

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3823
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

primitive n-ième dr ln(x)

Nombrilist a écrit:

Mathias touchait au but

Ah bon, Mathias s'est mis à toucher aux buts ? roll

Mauvaise contrepèterie, je sors...  ---->[ ]


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #17 - 03-12-2010 10:15:55

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Primitive n-ièm de ln(x)

En repartant de la dérivée effectuée par Mathias:
[TeX]\left( \frac{x^n}{n!} \left( \ln(x) - a_n \right) \right)' = \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \left( \ln(x) - a_n \right) + \frac{x^{n-1}}{n!} = \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \ln(x) + (1 - n a_n) \frac{x^{n-1}}{n!}[/TeX]
On remarque [latex] a_n =a_{n-1} +\frac1n[/latex]

Il n'est alors pas compliqué de retrouver:
[TeX]F_n(t)=\frac{t^n}{n!}\left(\ln t-\sum_{k=1}^n\frac 1k\right)[/TeX]
On pouvait aussi facilement remarquer en factorisant que [latex]xln(x)-x = x(ln(x) - 1)[/latex] et qu'une primitive doit être:
[TeX]\frac {x^2}2(ln(x)-1)' = xln(x)- x +\frac 12x[/TeX]
que l'on corrige par [latex]-\frac 12[/latex]
[TeX]\frac {x^3}3(ln(x)-\frac 32)' = \frac {x^2}2(ln(x)-\frac32+\frac13)[/TeX]
que l'on corrige par [latex]-\frac 13[/latex]

La suite vient tout seul.

Bon, ça c'est la solution (probablement utilisée par Yannek) que j'ai trouvée après avoir résolu le problème façon Scarta. Il y avait un moyen de résoudre la suite développée par Scarta, mais c'est long à détailler.

 #18 - 26-08-2011 08:19:00

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Primiive n-ième de ln(x)

Je propose une approche pour le calcul des primitives n-ième en général. Tout est formel.

Soit [latex]F_n[/latex] une primitive n-ième de  [latex]f[/latex] alors introduisons [latex]y(x)=\sum_{n\geq 0}F_n(x)t^n[/latex] alors [latex]y'(x)=f'(x)+\sum_{n\geq 1}F_{n-1}(x)t^n[/latex] d'ou l'équation différentielle

[latex]y'(x)=ty(x)+f'(x)[/latex]. On sait la résoudre à coup d'exponentielle mais attention tout doit être écrit en série entière car c'est formel.

Je ne traite pas l'exemple car on à déjà la solution.


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