Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 04-04-2011 22:22:09

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Primitive n-ième de ln²x)

Bonsoir,

Sauriez vous me trouver une primitive n-ième de ln²(x) ?

Bon courage !



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 04-04-2011 23:23:18

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

Primitive n-ièm de ln²(x)

Je conjecture qu'un telle primitive n-ième est de la forme :
[TeX]F_n(x)=\frac{x^n}{n!}(\ln^2(x)-a_n\ln(x)+b_n)[/TeX]
avec [latex]a_n[/latex] et [latex]b_n[/latex] à déterminer !
A suivre ...

EDIT 1
[TeX]a_n=2\sum_{k=1}^n\frac1k[/latex] avec la convention [latex]a_0=0[/TeX]
EDIT 2
[TeX]b_n=2\sum_{p=1}^n\sum_{k=1}^p\frac1{pk}[/latex] et [latex]b_0=0[/TeX]
Je ne sais pas si je peux simplifier l'écriture de [latex]b_n[/latex] ?

 #3 - 04-04-2011 23:29:22

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Primitive -ième de ln²(x)

Non big_smile


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #4 - 04-04-2011 23:50:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

Primitive n-ième de lnn²(x)

Je n'ai rien contre les maths mais est-ce bien le bon endroit pour poser cette question ?

Vasimolo

 #5 - 05-04-2011 00:03:07

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Primitive n-ième de ln²x)

Un bon début pour Looping. Tu as raison en effet. Mais il y a encore du boulot !

Edit: oui, c'est exact ! Encore un peu de travail.

 #6 - 05-04-2011 09:06:33

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 482
Lieu: Ardèche

Primtiive n-ième de ln²(x)

On intègre par parties.
[TeX]\int ln^2x.dx=[x.\ln^2 x]-2\int \ln x.dx[/TeX]
[TeX]\int ln^2x.dx=x(\ln^2 x-2ln x+2)+C[/TeX]
etc... de proche en proche

pour n=2, on trouve déjà :
[TeX]c1.x+c2+\frac{7x^2}4+\frac{x^2\ln^2 x}2-\frac {3x^2\ln x}2[/TeX]
En supposant c1, c2, ...cn=0
n=2        [latex]\frac{x^2}2 (\ln^2 x-3\ln x+\frac 7 2)[/latex]

n=3       [latex]\frac {x^3}6 ({\ln^2 x}-\frac {11}3 \ln x+\frac {85}{18})[/latex]

n=4        [latex]\frac {x^4} {24}(\ln^2 x-\frac{25\ln x}6+\frac{415}{72})[/latex]

Ça commence toujours par [latex]\frac {x^n \ln^2 x}{n!}[/latex] mais la suite se complique.

 #7 - 05-04-2011 11:16:33

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Primitive n-ième dee ln²(x)

Bravo à Looping, qui a trouvé très rapidement. C'est marrant, pour [latex]b_n[/latex], je n'ai pas du tout la même formule, mais toutes deux donnent les mêmes valeurs. La tienne est bien plus élégante. Je me demande comment tu l'as trouvée. Et non, je ne pense pas que ça puisse se simplifier.

Beau travail !

Pour Hallodula: je n'ai pas travaillé comme ça. Ceci dit, prends de proche en proche la primitive la plus simple. Ce sera plus facile je pense.

 #8 - 05-04-2011 13:33:48

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Primitive n-ième de ln²(x

Etant relativement incompétent, je me suis pris au jeu de répondre en laissant presque tous les calculs à Wolfram Alpha:

Je lui ai fait calculer les dérivées premières, secondes, troisième, quatrième et j'ai constaté que la dérivée n-ième est de la forme :
[TeX]\frac{a_n - b_n \log(x)}{x^n}\times (-1)^n[/latex] avec [latex]b_1=2[/latex] et [latex]a_1 = 0[/TeX]
je lui ai fait dérivé cette forme générale et il trouve : 
[TeX](-1)^{n+1} x^{-(n+1)} (a_n n + b_n - b_n n\log(x))[/TeX]
ce qui me donne des relations de récurrence sur [latex]a_n[/latex] et [latex]b_n[/latex] :
[TeX]b_{n+1} = n.b_n[/latex], soit [latex]b_n = 2.(n-1)!=2\Gamma(n)[/latex] (Wolfram préfère utiliser la fonction Gamma : [latex]\Gamma(n)[/latex] au lieu de [latex](n-1)![/latex]. Affaire de style.)

et

[latex]a_{n+1} = n.a_n + b_n = n.a_n + 2.\Gamma(n)[/TeX]
qu'on peut exprimer directement et succinctement (d'après Wolfram Alpha) par :
[TeX]a(n) = 2 \Gamma(n) (\psi(n)+\gamma)[/TeX]
où [latex]\psi[/latex] la fonction digamma et [latex]\gamma[/latex] est la constante d'Euler-Mascheroni ([latex]=-\psi(1)[/latex] ).

Quel bel outil que ce Wolfram Alpha ! big_smile

 #9 - 05-04-2011 13:50:06

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Primitive n-ième de ln²(xx)

Je ne connais ni la constante d'Euler, ni la fonction digamma, mais es-tu sur que tu as cherché une primitive de ln²(x) ? Je trouve bizarre que tu aies x^n au dénominateur.

 #10 - 05-04-2011 13:56:12

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

Primtive n-ième de ln²(x)

Démonstration
J'ai d'abord calculé une primitive de [latex]\ln^2(x)[/latex], puis un primitive seconde. Je vous passe les calculs, mais ça m'a permis de conjecturer la formule de récurrence suivante :
[TeX]F_n(x)=\frac{x^n}{n!}(\ln^2(x)-a_n\ln(x)+b_n)[/TeX]
Je dérive ensuite F_{n+1} (je passe quelques calculs simples)
[TeX]F'_{n+1}(x)=\frac{x^n}{n!}\left(\ln^2(x)-(a_{n+1}-\frac2{n+1})\ln(x)+b_{n+1}-\frac{a_{n+1}}{n+1}\right)[/TeX]
Je définis ensuite les 2 suites [latex]a_n[/latex] et [latex]b_n[/latex] ainsi :
[TeX]a_0=b_0=0
a_{n+1}=a_n+\frac2{n+1}
b_{n+1}=b_n+\frac{a_{n+1}}{n+1}
[/TeX]
En dérivant n fois l'expression de F_n, on aura bien [latex]F^{(n)}_n(x)=\ln^2(x)[/latex]

Toutes les primitives n-ièmes de [latex]\ln^2(x)[/latex]

L'expression de a_n est simple à trouver :
[TeX]\fbox{a_n=2\sum_{k=1}^n\frac1k}[/TeX]
Pour trouver [latex]b_n[/latex], je somme pour p allant de 1 à n la relation de récurrence sur les [latex]b_p[/latex]
[TeX]b_{p}-b_{p-1}=\frac{a_{p}}{p}[/TeX]
Cela donne :
[TeX]\sum_{p=1}^n\left(b_{p}-b_{p-1}\right)=\sum_{p=1}^n\frac{a_{p}}{p}[/TeX]
Les termes de gauche se télescopent, et en remplaçant à droite par la valeur trouvée pour les [latex]a_p[/latex], on arrive à :
[TeX]\fbox{b_n=2\sum_{p=1}^n\sum_{k=1}^p\frac1{pk}}[/TeX]
Toutes les primitives n-ièmes de [latex]\ln^2(x)[/latex] s'écrivent ainsi  ([latex]n \ge 1[/latex])
[TeX]\fbox{f(x)=P_{n-1}(x)+\frac{x^n}{n!}\left(\ln^2(x)-2\ln(x)\sum_{k=1}^n\frac1k+2\sum_{p=1}^n\sum_{k=1}^p\frac1{pk}\right)}[/TeX]
où [latex]P_n[/latex] est un polynôme quelconque de degré au plus n

 #11 - 05-04-2011 15:10:57

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Primitve n-ième de ln²(x)

mdr nombrilist, j'ai cherché une dérivée n-ième big_smile désolé

mais c'est sensiblement le même topo, soit [latex]I_n[/latex] une nième primitive,

on postule assez vite que [latex]I_n(x)[/latex] est de la forme :
[TeX]x^n (a_n \log^2 x -b_n \log x + c_n)[/latex],

on l'intègre et Wolfram donne :

               [latex](x^{(1 + n)} (2 a_n + (1 + n) (b_n + c_n + c_n n) - (1 + n) (2 a_n + b_n + b_n n) \log(x)+ a_n (1 + n)^2 \log^2(x)))/(1 + n)^3[/TeX]
d'où l'on tire des équations récurrentes pour [latex]a_n[/latex], [latex]b_n[/latex] et [latex]c_n[/latex].

Après, c'est affaire de transpiration smile mais c'est bien le genre de calcul que j'exècre, un logiciel de calcul formel aidera à moins suer...

 #12 - 05-04-2011 15:22:40

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Priimitive n-ième de ln²(x)

Excellente démonstration de Looping. Parfait.

 #13 - 05-04-2011 21:05:43

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3327

Primitivve n-ième de ln²(x)

Suspens : Spoiler : [Afficher le message] Même réponse que kosmogol lol
Sinon la seul chose que je connais c'est la primitive de ln(x) qui est x*ln(x)-x sad


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 05-04-2011 22:21:19

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

primitive n-ièle de ln²(x)

C'est déjà pas mal, Shadock wink

Gasole, [latex]I_n[/latex] est effectivement de cette forme. Tu pourrais factoriser davantage et ton terme [latex]a_n[/latex] devrait t'apparaître évident lol.

 #15 - 05-04-2011 23:19:52

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

primitive n-oème de ln²(x)

Je sais mais bon. Je m'en tiendrai là.

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Tim, Tam et ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
27-11-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Puissances de 4 par dhrm77
28-06-2009 Enigmes Mathématiques
P2T
08-08-2011 Enigmes Mathématiques
22-08-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Ortohgraphe et calcul par sentanza
11-09-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
Pyramide de nombres ... par Alexein41
14-04-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Pythagore en 3D par papiauche
03-05-2008 Enigmes Mathématiques
P2T
Eurêka! par SaintPierre
06-01-2011 Enigmes Mathématiques
03-03-2008 Enigmes Mathématiques

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)
(31) — (16) — (9) — (9) — Derivee de ln carre de x (7) — (6) — (6) — Primitive de ln^2(x) (6) — (6) — (6) — (6) — (6) — (5) — Integrale log carre (5) — (5) — (5) — Primtive de ln^2 x (4) — (4) — Primitive ln carre x (4) — (4) — (4) — (3) — (3) — (3) — Integrale de ln^2(x) (3) — (3) — Primitives log carre (2) — (2) — (2) — (2) — (2) — (2) — (2) — (2) — (2) — (2) — (2) — Derivee de ln au carre (2) — Primitive nieme (2) — Integrale nieme (2) — Derivee nieme wolfram (2) — (2) — (2) — (2) — Derivee de ln au carre de x (2) — (2) — Primitive n-ieme du log (2) — Formule de la n ieme derivee de ln (2) — Primitive de ln?x (2) — (2) — (2) — (2) — Derivee de * ln 2 (2) — Cherche la solution de ln?(x) + ln(x) - 2 = 0 (2) — Primitive de ln^2 x (2) — Primitive de ln carre de x (2) — (2) — Primitive n-ieme (2) — Primitive de lnx au carre (2) — (2) — Derive de ln(2/x+x) (2) — Ln carre de x (2) — Derivee nieme sur wolfram (1) — (1) — Derive de ln carre de x pdf (1) — Demonstration deriver ln au carre (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — Derivee de ln^2 (x) (1) — (1) — (1) — Derivee deln au carre de x (1) — (1) — Primitive de 2lnx (1) — Primitive n! (1) — Nieme primitive de ln x (1) — Integrer ln^2 x (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — Conjecturer l expression de la derivee nieme k^(n) ou n>=1 (1) — (1) — (1) — Derivee nieme wolfram alpha (1) — (1) — (1) — Derive primitive lnx carre (1) — Suite integrale x^2 ln(x)^n (1) — (1) — (1) — Primitive nieme d une fonction (1) — (1) — (1) — (1) — Programme calcul derivi nieme (1) — (1) — Primitive n ieme (1) — Primitive de (lnx)^2 (1) — Integrale de ln au carre (1) — La primitive exact de ln(x) au carre (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — Ln au carre de x (1) — (1) — (1) — Demonstration de la derivee de lnx au carre (1) — Primitives ln^2 (x) (1) — (1) — Primitive de ln carre(x) (1) — Integrale de log carre (1) — (1) — Primitive de ln(x)^n (1) — Derivee nieme du carre de ln x (1) — Simplification ln? (1) — (1) — Derivee de ln2(1+x) (1) — Primitive ln au carre (1) — La derivee de ln2 (1) — Une primitive de 2lnx-1/x (1) — (1) — Primitive de lnx 2 (1) — Derive de ln?x (1) — (1) — (1) — (1) — Derive lncarre de x/x (1) — (1) — (1) — Primitive non resolues (1) — (1) — Calculs de derives nieme (1) — Primitive de ln carre (1) — Logcarre x=1 (1) — (1) — Primitive de ln^2x / x (1) — (1) — (1) — Gasole (1) — (1) — (1) — Wolfram alpha derivee nieme (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — Primitive de lnx^2 (1) — (1) — (1) — (1) — Integrale de xlnx2 (1) — Primitive de ln au carre x (1) — (1) — (1) — Ln x au carre (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — Primitive n eme du log (1) — (1) — Integrale de ln carre (1) — (1) — (1) — (1) — Constantes integrees wolfram alpha (1) — (1) — Primitive de 2 ln x (1) — Primitve de ln carre x (1) — (1) — (1) — Primitive nieme ln2 x (1) — (1) — Primitive de ln x^2 (1) — Derive de ln carree de x (1) — Primitives non resolues (1) — (1) — Primitives nieme de ln(x) (1) — (1) — Log2 x primitive (1) — (1) — (1) — Primitive ln x * ln x (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — (1) — Recherche mathematique primitive de 1/lnx (1) — (1) — Primitives n-ieme (1) — (1) — Derivee de lncarre de x (1) — (1) — (1) — Primitive ln(1+x^n) (1) — (1) — L integrale d une derive n ieme (1) — (1) — Primitive (ln x)^2 (1) — Integrale (ln^2x) (1) — (1) — Primitive ln^2(x) (1) — (1) — Integrale de 1 a 2 de lnx au carre (1) — (1) — Primitive ln2(x) (1) — Formule de primitive (1) — Primitive ln carre (1) — (1) — (1) — Integrale lnx au carre (1) — Primitive n ieme de ln (1) — (1) — Primitive n-ieme de 1/x (1) — Derivee log au carre (1) — (1) — (1) — Derivee de 1/2 logarithme carre de x (1) — Primitive ln(x)^2 (1) — Calculer primitive (lnx)^2 (1) — (1) — Ln x^2 et primitive (1) — Primitive log x/x (1) — (1) — Integrale ln carre de x (1) — Primitive de ln x au carre (1) — Formule de primitive nieme (1) — (1) — Logarithme neperien primitives de 1/x (1) — Derivee de ln 2 (1) — (1) — Ecrire indice wolfram alpha (1) — Integral ln(1/n care) (1) — Ln^carre de x= (1) —

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete