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 #1 - 04-04-2011 22:22:09

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Primitive n-imèe de ln²(x)

Bonsoir,

Sauriez vous me trouver une primitive n-ième de ln²(x) ?

Bon courage !



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 #2 - 04-04-2011 23:23:18

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

Primitive n-ème de ln²(x)

Je conjecture qu'un telle primitive n-ième est de la forme :
[TeX]F_n(x)=\frac{x^n}{n!}(\ln^2(x)-a_n\ln(x)+b_n)[/TeX]
avec [latex]a_n[/latex] et [latex]b_n[/latex] à déterminer !
A suivre ...

EDIT 1
[TeX]a_n=2\sum_{k=1}^n\frac1k[/latex] avec la convention [latex]a_0=0[/TeX]
EDIT 2
[TeX]b_n=2\sum_{p=1}^n\sum_{k=1}^p\frac1{pk}[/latex] et [latex]b_0=0[/TeX]
Je ne sais pas si je peux simplifier l'écriture de [latex]b_n[/latex] ?

 #3 - 04-04-2011 23:29:22

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Primitiive n-ième de ln²(x)

Non big_smile


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #4 - 04-04-2011 23:50:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,117E+3

Primitive nn-ième de ln²(x)

Je n'ai rien contre les maths mais est-ce bien le bon endroit pour poser cette question ?

Vasimolo

 #5 - 05-04-2011 00:03:07

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

prilitive n-ième de ln²(x)

Un bon début pour Looping. Tu as raison en effet. Mais il y a encore du boulot !

Edit: oui, c'est exact ! Encore un peu de travail.

 #6 - 05-04-2011 09:06:33

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 494
Lieu: Ardèche

Primitive n-ième d ln²(x)

On intègre par parties.
[TeX]\int ln^2x.dx=[x.\ln^2 x]-2\int \ln x.dx[/TeX]
[TeX]\int ln^2x.dx=x(\ln^2 x-2ln x+2)+C[/TeX]
etc... de proche en proche

pour n=2, on trouve déjà :
[TeX]c1.x+c2+\frac{7x^2}4+\frac{x^2\ln^2 x}2-\frac {3x^2\ln x}2[/TeX]
En supposant c1, c2, ...cn=0
n=2        [latex]\frac{x^2}2 (\ln^2 x-3\ln x+\frac 7 2)[/latex]

n=3       [latex]\frac {x^3}6 ({\ln^2 x}-\frac {11}3 \ln x+\frac {85}{18})[/latex]

n=4        [latex]\frac {x^4} {24}(\ln^2 x-\frac{25\ln x}6+\frac{415}{72})[/latex]

Ça commence toujours par [latex]\frac {x^n \ln^2 x}{n!}[/latex] mais la suite se complique.

 #7 - 05-04-2011 11:16:33

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Primitive n-ième de nl²(x)

Bravo à Looping, qui a trouvé très rapidement. C'est marrant, pour [latex]b_n[/latex], je n'ai pas du tout la même formule, mais toutes deux donnent les mêmes valeurs. La tienne est bien plus élégante. Je me demande comment tu l'as trouvée. Et non, je ne pense pas que ça puisse se simplifier.

Beau travail !

Pour Hallodula: je n'ai pas travaillé comme ça. Ceci dit, prends de proche en proche la primitive la plus simple. Ce sera plus facile je pense.

 #8 - 05-04-2011 13:33:48

gasole
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Primitive n-ième de nl²(x)

Etant relativement incompétent, je me suis pris au jeu de répondre en laissant presque tous les calculs à Wolfram Alpha:

Je lui ai fait calculer les dérivées premières, secondes, troisième, quatrième et j'ai constaté que la dérivée n-ième est de la forme :
[TeX]\frac{a_n - b_n \log(x)}{x^n}\times (-1)^n[/latex] avec [latex]b_1=2[/latex] et [latex]a_1 = 0[/TeX]
je lui ai fait dérivé cette forme générale et il trouve : 
[TeX](-1)^{n+1} x^{-(n+1)} (a_n n + b_n - b_n n\log(x))[/TeX]
ce qui me donne des relations de récurrence sur [latex]a_n[/latex] et [latex]b_n[/latex] :
[TeX]b_{n+1} = n.b_n[/latex], soit [latex]b_n = 2.(n-1)!=2\Gamma(n)[/latex] (Wolfram préfère utiliser la fonction Gamma : [latex]\Gamma(n)[/latex] au lieu de [latex](n-1)![/latex]. Affaire de style.)

et

[latex]a_{n+1} = n.a_n + b_n = n.a_n + 2.\Gamma(n)[/TeX]
qu'on peut exprimer directement et succinctement (d'après Wolfram Alpha) par :
[TeX]a(n) = 2 \Gamma(n) (\psi(n)+\gamma)[/TeX]
où [latex]\psi[/latex] la fonction digamma et [latex]\gamma[/latex] est la constante d'Euler-Mascheroni ([latex]=-\psi(1)[/latex] ).

Quel bel outil que ce Wolfram Alpha ! big_smile

 #9 - 05-04-2011 13:50:06

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

primitive n-ième dr ln²(x)

Je ne connais ni la constante d'Euler, ni la fonction digamma, mais es-tu sur que tu as cherché une primitive de ln²(x) ? Je trouve bizarre que tu aies x^n au dénominateur.

 #10 - 05-04-2011 13:56:12

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Primitive n-ième dee ln²(x)

Démonstration
J'ai d'abord calculé une primitive de [latex]\ln^2(x)[/latex], puis un primitive seconde. Je vous passe les calculs, mais ça m'a permis de conjecturer la formule de récurrence suivante :
[TeX]F_n(x)=\frac{x^n}{n!}(\ln^2(x)-a_n\ln(x)+b_n)[/TeX]
Je dérive ensuite F_{n+1} (je passe quelques calculs simples)
[TeX]F'_{n+1}(x)=\frac{x^n}{n!}\left(\ln^2(x)-(a_{n+1}-\frac2{n+1})\ln(x)+b_{n+1}-\frac{a_{n+1}}{n+1}\right)[/TeX]
Je définis ensuite les 2 suites [latex]a_n[/latex] et [latex]b_n[/latex] ainsi :
[TeX]a_0=b_0=0
a_{n+1}=a_n+\frac2{n+1}
b_{n+1}=b_n+\frac{a_{n+1}}{n+1}
[/TeX]
En dérivant n fois l'expression de F_n, on aura bien [latex]F^{(n)}_n(x)=\ln^2(x)[/latex]

Toutes les primitives n-ièmes de [latex]\ln^2(x)[/latex]

L'expression de a_n est simple à trouver :
[TeX]\fbox{a_n=2\sum_{k=1}^n\frac1k}[/TeX]
Pour trouver [latex]b_n[/latex], je somme pour p allant de 1 à n la relation de récurrence sur les [latex]b_p[/latex]
[TeX]b_{p}-b_{p-1}=\frac{a_{p}}{p}[/TeX]
Cela donne :
[TeX]\sum_{p=1}^n\left(b_{p}-b_{p-1}\right)=\sum_{p=1}^n\frac{a_{p}}{p}[/TeX]
Les termes de gauche se télescopent, et en remplaçant à droite par la valeur trouvée pour les [latex]a_p[/latex], on arrive à :
[TeX]\fbox{b_n=2\sum_{p=1}^n\sum_{k=1}^p\frac1{pk}}[/TeX]
Toutes les primitives n-ièmes de [latex]\ln^2(x)[/latex] s'écrivent ainsi  ([latex]n \ge 1[/latex])
[TeX]\fbox{f(x)=P_{n-1}(x)+\frac{x^n}{n!}\left(\ln^2(x)-2\ln(x)\sum_{k=1}^n\frac1k+2\sum_{p=1}^n\sum_{k=1}^p\frac1{pk}\right)}[/TeX]
où [latex]P_n[/latex] est un polynôme quelconque de degré au plus n

 #11 - 05-04-2011 15:10:57

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

primitivr n-ième de ln²(x)

mdr nombrilist, j'ai cherché une dérivée n-ième big_smile désolé

mais c'est sensiblement le même topo, soit [latex]I_n[/latex] une nième primitive,

on postule assez vite que [latex]I_n(x)[/latex] est de la forme :
[TeX]x^n (a_n \log^2 x -b_n \log x + c_n)[/latex],

on l'intègre et Wolfram donne :

               [latex](x^{(1 + n)} (2 a_n + (1 + n) (b_n + c_n + c_n n) - (1 + n) (2 a_n + b_n + b_n n) \log(x)+ a_n (1 + n)^2 \log^2(x)))/(1 + n)^3[/TeX]
d'où l'on tire des équations récurrentes pour [latex]a_n[/latex], [latex]b_n[/latex] et [latex]c_n[/latex].

Après, c'est affaire de transpiration smile mais c'est bien le genre de calcul que j'exècre, un logiciel de calcul formel aidera à moins suer...

 #12 - 05-04-2011 15:22:40

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Primitive n-ième de ln²(x))

Excellente démonstration de Looping. Parfait.

 #13 - 05-04-2011 21:05:43

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Primitive n-ième de lln²(x)

Suspens : Spoiler : [Afficher le message] Même réponse que kosmogol lol
Sinon la seul chose que je connais c'est la primitive de ln(x) qui est x*ln(x)-x sad


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 05-04-2011 22:21:19

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Primitiv en-ième de ln²(x)

C'est déjà pas mal, Shadock wink

Gasole, [latex]I_n[/latex] est effectivement de cette forme. Tu pourrais factoriser davantage et ton terme [latex]a_n[/latex] devrait t'apparaître évident lol.

 #15 - 05-04-2011 23:19:52

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

rPimitive n-ième de ln²(x)

Je sais mais bon. Je m'en tiendrai là.

 

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