J'espère que j'ai bien compris le problème.

1ère rangée (en haut) : 1 * n boulets
2ème rangée : 2 * (n+1) boulets
3ème rangée : 3 * (n+2) boulets
...
n-ème rangée : n x (2n - 1) boulets

Donc si l'on appelle [latex]N[/latex] le nombre total de boulets, alors :
[TeX]N = \sum_{k = 1}^{n} k * (n+k-1) = \sum_{k = 1}^{n} k^2 + (n-1)\sum_{k = 1}^{n} k [/TeX][TeX]N=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n-1)\frac{n(n+1)}{2}[/TeX][TeX]N=\frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n-1)(n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(5n-2)}{6}[/TeX]
Le problème consiste donc à trouver n (hauteur de la pile de boulets) tel que N (nombre total de boulets) soit un carré.
Avec un petit programme, on trouve :
n = 1 et N = 1 (solution triviale avec un seul boulet),
n = 6 étages et N = 196 boulets en tout (carré de 14),
ainsi que n = 49 étages et N = 99245 boulets en tout (carré de 315).

Pour les solutions suivantes, il me semble intuitivement qu'on ne peut pas en trouver d'autres, car dès lors que n>7, on remarque que n et n+1 et 5n-2 sont premiers entre eux deux à deux (à un diviseur puissance de 2 près entre n et 5n-2 si n est pair).
Pour que N soit un carré avec n>7, il faut donc réunir l'une des conditions suivantes :
a) Si n est impair :
a1) n est un carré parfait, n+1 est 2 fois un carré parfait et 5n-2 est 3 fois un carré parfait.
a2) n est 3 fois un carré parfait, n+1 est 2 fois un carré parfait et 5n-2 est un carré parfait.
a3) n est un carré parfait, n+1 est 6 fois un carré parfait et 5n-2 est un carré parfait.

b) Si n est est pair :
b1) n est un carré parfait, n+1 est 3 fois un carré parfait et 5n-2 est 2 fois un carré parfait.
b2) n est 2 fois un carré parfait, n+1 est 3 fois un carré parfait et 5n-2 est un carré parfait.

Il reste à démontrer qu'il n'y a pas d'autres solutions au-delà de n=49 (qui correspond au cas a1 ci-dessus).
Je laisse la solution élégante et généralisée aux mathématiciens de ce site .
Klim.

Si on appelle n le nombre de boulets sur la longueur et p le nombre de boulets dur la largeur, on s'aperçoit tout de suite que n = 2p - 1.

Il est donc aisé de trouver la réponse à la question 1 : 196 (11 sur 6 pour la première couche)



Réponse 2 : 99225 (97 sur 49 pour la première couche)

Pour la démo par contre... je cherche encore...

@franck : je ne pense pas que tes deux derniers nombres soient des carrés parfaits. Mais presque

Les tas sont identifiés par un seul paramètre que je note n, la largeur de la couche du bas ou la longueur de la couche du haut. Le nombre total N de boulets qui constituent le tas n vaut
[TeX]N=\sum_{i=1}^{n}(n+i-1).i[/TeX]
On cherche N pour les quels il existe un entier k tel que N=k².

1.- Je trouve trois solutions inférieures à 1000 boulets.

N = 1 = 1²
et
N = 196 = 14²

2.- N = 99225 = 315²

3.- Je ne trouve aucune autre solution inférieure à 833833000 pour une largeur de 1000 boulets à la base du tas.

Je n'ai pas de démonstration, mais une intuition me dit qu'il pourrait s'agir d'une équation du troisième ordre pour laquelle trois solutions ont déjà été trouvées. Il n'y en aurait donc plus d'autre.

Je creuserai ça quand j'aurai plus de temps.
[TeX]N=\sum_{i=1}^{n}(n+i-1).i[/TeX][TeX]=\sum_{i=1}^{n}(ni+i^2-i)[/TeX][TeX]=\sum_{i=1}^{n}[(n-1).i+i^2][/TeX][TeX]=(n-1).\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n}i[/TeX][TeX]=(n-1).\frac{n.(n+1)}{2}+\sum_{i=1}^{n}i^2[/TeX][TeX]=\frac{n.(n^2-1)}{2}+\frac{n.(n+1).(2n+1)}{6}[/TeX][TeX]=\frac{5n^3+3n^2-2n}{6}[/TeX]
Pourquoi [latex]k^2=\frac{5n^3+3n^2-2n}{6}[/latex] n'accepterait que 3 solutions ? Je sais pas trop.
Non, il y a au moins 4 solutions puisque 0 en est une aussi.

Cet empilage se décompose en une pyramide dont la somme de boulets est :
                         1 + 2² + ... + n²
somme à laquelle il faut ajouter (n-1) la somme des n premiers nombres,
soit    n * (n-1)² / 2

Pour que la somme de tous les boulets soit un carré, il faut aller jusqu'à :
- 6 couches, soit 196 boulets (14²), puis
- 49 couches, soit 99225 boulets (315²).

Il ne semble pas qu'il y ait d'autres solutions avant d'atteindre des valeurs astronomiques, mais cela reste à démontrer ...

Pour arriver à un dernier niveau de largeur 1 et de longueur égal à la largeur initiale, il faut que la longueur soit égale à 2 fois la largeur initiale moins 1

En me servant d'Excel, je trouve:
1- Un rectangle de base de 11 X 6 boulets, ce qui donne un tas de 196 boulets (14 au carré)

2- Un rectangle de 97 X 49, soit 99225 boulets (315 au carré)

3- Dans la limite du tableur je ne trouve pas d"autre solution et encore moins de démonstration

Avec une base de 6*11 : 196 boulets
Avec une base de 49*97  : 99225 boulets

En règle générale, on peut voir ce tas comme sur le dessin suivant :


On voit donc que le nombre de boulet est égal à :

Pour la pyramide:  Somme pour x=1 à n des ( x^2) =   n(n+1)(2n+1)/6

Pour le prisme : Somme pour x=1 à n des (x)  que multiplie (n-1)  = (n+1) (n/2) (n-1)

Le nombre N de boulets est donc :

N= n(n+1)(2n+1)/6 + (n^3-n) /2

N = (5n^3 + 3n^2 -2n ) /6

Jusqu'à n= 20000 je ne trouve pas d'autre carré parfait, mais je ne sais pas prouver que c'est impossible.

On est tenté de dire que pour une formule de degré 3 qui doit être égal à un nombre de la forme (an+b )^2 avec a et b entiers, 3 racines sont tout ce que l'on peut trouver ( 1 , 6 et  49 font donc l'affaire)

En relisant l'énoncé, je finis enfin par comprendre qu'il n'y a qu'une inconnue au problème, c'est un bon début.

La couche du dessus est une ligne de [latex]L[/latex] boulets ; la couche du dessous est un rectangle de [latex]L[/latex] boulets par [latex]2L-1[/latex].

Le nombre total de boulets est donc :
[TeX]L + 2(L+1) + 3(L+2) + ... + L(2L-1)[/TeX]
En développant un peu : [latex](1+2+3+...+L)L + (1 \times 2 + 2 \times 3 + ... + (L-1) \times L)[/latex]

Le deuxième terme est la somme des [latex]n(n-1)[/latex], soit la somme des [latex]n^2[/latex] moins la somme des [latex]n[/latex], pour n allant de [latex]2[/latex] à [latex]L[/latex].

Le nombre de boulets du tas se calcule du coup mieux que prévu... J'obtiens [latex]\frac{L(L+1)(5L-2)}{6}[/latex] après réduction et simplification.

La flemme de faire de l'algèbre, du coup je demande un petit coup de main à Wolfram|Alpha : [latex]L=6[/latex] ([latex]14^2=196[/latex] boulets) et [latex]L=49[/latex] ([latex]315^2=99225[/latex] boulets).

Je réfléchis à une preuve de non-existence d'autres solutions. Ca ne va pas être simple, je pense...

Si n est le nombre de boulets du haut, et aussi la largeur de la base, le nombre total N de boulets est égal à n(n+1)(5n-2)/6.
[une pyramide n(n+1)(2n+1)/6 et n-1 triangles n(n+1)/2 chacun].

Si n est pair, 5n-2 est divisible par 4, N est pair.
Si n est impair, N est impair.

On trouve aisément avec un tableur les valeurs donnant N=carré parfait
n=1,   N=1        =1²      trivial
n=6,   N=196    =14²
n=49, N=99225=315²

Aucune autre valeur de n <5000 ne convient, la place du palais de Monaco serait pleine.

Tentative de démonstration : (incomplète)
Tout diviseur premier de n, supérieur à 5, est premier avec n+1 et 5n-2, donc doit être présent à une puissance paire dans n.

Le même raisonnement s'applique à n+1 et à 5n-2, sauf pour 7, qui peut diviser simultanément n+1 et 5n-2, donc être présent une fois dans chacun.

En jouant avec les divisibilités par 2, 3 et 7 de n, n+1 et 5n-2, on doit pouvoir démontrer qu'il n'y a pas d'autre solution.

Que des bonnes réponses : 2 solutions, 196 (14²) et 99225 (315²).
Pour le dernier point, j'ai l'impression que les démos tiennent la route (rivas, gasole, hallodouda...), même si je reste persuadé que ce truc doit pouvoir se démontrer en quelques lignes, ça paraît tellement simple en apparence.
Merci à tous, à la prochaine

@nadjj : elles sont si évidentes que ça, mes sources ? :p

Oui c'est sûr que l'esprit de Gauss plane sur ce genre de problème...
Et ta preuve est très bien, maintenant je vois bien le comment du pourquoi.
On va peut-être arrêter l'arithmétique un moment, non ? J'en ai une autre que j'ai pas encore résolue, mais on va attendre un peu

Détends-toi en cherchant celle-ci : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=8050 ;-)

si en plus, tu pouvais prouver qu'on peut poursuivre infiniment ...