@irmo : j'ai pas dit erreur, j'ai dit trou, il y avait un trou dans ton argument, mais c'est bon, maintenant il est bouché

(H): f(E(x).y)=f(x).E(f(y))
f constante à 0 répond à la question. Dans la suite on supposera que f n'est pas cette fonction.

En appliquant à y=0, on trouve: f(0)=f(x).E(f(y)).
Donc soit f(0)=0 soit f est constante.
Si f est constante, en appliquant (H) à x=0, y=0:
f(0)=f(0).E(f(0)).
Or on a supposé que f n'est pas la fonction constante nulle donc f(0)<>0 donc E(f(y))=1. Toutes les fonctions f constante de valeurs dans [1,2[ sont solutions.

Il reste à traiter le cas f(0)=0 mais f n'est pas la fonction nulle.
Il existe donc un point a tel que f(a)<>0.
Appliquons (H) avec E(x) et y:
f(E(E(x)).y)=f(E(x)).E(f(y)).
Or E(E(x))=E(x) donc: f(E(E(x).y)=f(E(x).y)=f(x).E(f(y)).
Donc f(E(x)).E(f(y))=f(x).E(f(y)).
Donc soit E(f(y)) est nul pour tout y soit f(x)=f(E(x)) pour tout x.
Si E(f(y)) est nul pour tout y, en posant dans (H) x=1, on obtient f(y)=0 pour tout y, ce qui est contraire à notre hypothèse.
Donc pour tout x, f(x)=f(E(x)): f est constante par palier de longueur 1.

Il ne me reste plus qu'à conclure dans ce cas, mais je n'ai pas le temps maintenant