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 #1 - 05-05-2011 15:26:10

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Neuff chiffres

Soient deux entiers n et k strictement supérieurs à 1.
On peut alors définir l'entier dont l'écriture décimal est la concaténation des nombres n, 2n, 3n, ..., k*n.

Par ex si n = 11 et k = 5 alors x = 1122334455

Quel le plus grand nombre que l'on peut former ainsi et qui soit constitué exactement d'une fois chacun des chiffres de 1 à 9 ?



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 #2 - 05-05-2011 16:04:45

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Neuf chiffre

Le nombre qui vient immédiatement à l'esprit est 918273645 avec n=9 et k=5.
Mais non validé par la case réponse.

J'en déduis qu'il y a mieux smile

Le nombre cherché commence forcément par 9.

Si le nombre n avait 2 chiffres, ses multiples suivants auraient 3 chiffres. On ne peut pas arriver à un nombre à 9 chiffres ainsi.

Si le nombre n avait 3 chiffres, les multiples suivants auraient 4 chiffres. On ne peut pas arriver à un nombre à 9 chiffres ainsi.

Avec un nombre n à 4 chiffres, son double a 5 chiffres, et on peut espérer trouver un nombre qui fonctionne.
Notons également que le 1 sera utilisé comme premier chiffre du double.

Le second chiffre ne peut pas être supérieur ou égal à 5, car sinon le 9 apparaîtrait dans le double : 95xx*2=19xxx
Notons qu'alors le 8 sera pris comme second chiffre du double.
Il reste 4,3, ou 2 pour le second chiffre.

Essayons avec 4.
Si le troisième chiffre était supérieur ou égal à 5, on aurait : 94xx*2=189xx => impossible.
Mais s'il est inférieur à 5, alors 94xx*2=188xx : impossible aussi.

Il reste alors 3 ou 2.
Essayons avec 3.
Il nous reste les chiffres 2,4,5,6,7 à placer, et notre nombre s'écrit n=93xx, son double 18xxx
Le dernier chiffre de n ne peut pas être 4 ni 5 (le double ne peut se terminer ni par 0 ni par 8). Il reste 2,6,7
Essayons n=93x2
9372*2=18744 non
9362*2=18734 non
9352*2=18704 non
9342*2=18684 non

Essayons alors avec 6
9376*2=18752 non
9356*2=18712 non
9346*2=18692 non
9326*2=18472 non

Essayons avec 7
9367*2=18734 non
9357*2=18714 non
9347*2=18694 non
9327*2=18654 oui !!!

Je suis donc assuré que le nombre 932718654 est le plus grand possible.
Mais la case réponse ne le valide pas sad

EDIT
Si, maintenant elle le valide big_smile

 #3 - 05-05-2011 16:12:11

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Neuff chiffres

Le plus grand entier doit contenir 9 chiffres.

n=987654321 k=1 ne remplit pas la condition initiale k>1 hmm

k=2 n=9273 => 927318546 à battre smile
k=3 n=9? ou n=9?? ne donne pas neuf chiffres
k=4 n=9? dépasse 9 chiffres
n=9 mais dans ce cas 2n=18 ce qui est inférieur au résultat avec k=2

Bien que le resultat ne soit pas validé, je maintiens k=2 n=9273 => N=927318546

Edit : j'ai ete trop vite ou pas assez attentif c'est selon hmm
k=2 n=9327 => N=932718654 smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 05-05-2011 16:19:02

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

neuf chiffrrs

Bravo a Looping !
Franck pas loin ^^.

 #5 - 05-05-2011 16:20:14

logan
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 90

Neuf chiffers

Avec n=9327 et k=2 on trouve x=932718654 (qui est bien plus grand que la solution triviale 918273645)

confirmé par la case réponse

Merci Excel

 #6 - 05-05-2011 16:24:15

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Neu fchiffres

Si n a un chiffre, essayons 9:
9 18 27 36 45 satisfait les conditions.
Est-ce le plus grand résultat?

Si n a 2 chiffres et que le premier chiffre est 9 (sinon le nombre ci-dessus est plus grand), 2n et 3n et 4n ont 3 chiffres et la concaténation ne peut avoir 9 chiffres.

Idem si n a 3 chiffres.

Reste le cas de n à 4 chiffres, dont le premier est un 9.
Si le deuxième chiffre est plus grand que 4 et donc n commence par 95, 2n commence par 19 d'où répétition du 9.
Si le deuxième chiffre est un 4, n=94.., 2n commence par 188 (répétition du 8 ou 189 répétition du 9).

Si n commence par 93, 2n commence par 186 ou 187.
Cas 187: restent les chiffres 2456 à placer sachant que pour avoir la retenue donnant le 7 de 187, le 3eme chiffre de n est 5 ou 6. 3eme chiffre à 5 n'est pas possible car le 3eme chiffre de 2n serait 0 ou 1. Donc le 3eme chiffre est 6 et aucune combinaison ne convient.

Cas 186: restent les chiffres 2457 à placer sachant que pour ne pas avoir de retenue pour le 6 de 186, le 3eme chiffre de n est 2 ou 4. 4 ne convient pas sinon 8 ou 9 dans 2n. Donc n=932. 2n=186(4|5).

On trouve finalement n=9327, 2n=18654 et k=2 donnant le nombre 932718654 validé par la case réponse.

Merci pour cette énigme.

 #7 - 05-05-2011 16:36:11

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Luxembourg

neuf cgiffres

Bonjour,
J'ai essayé n = 9 et k = 5, qui donnent x = 918273645.
Mais ce nombre n'est pas validé par la case réponse.
Bonne journée.
Frank

 #8 - 05-05-2011 16:41:24

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Paris

neuf chigfres

Je rajouterai même qu'il n'existe que 3 nombres de ce genre :

918273645 n=9 k=5
926718534 n=9267 k=2
932718564 n=9327 k=2

926718534 se trouve en considérant les nombres à 4 chiffres s'écrivant 92xx, un seul répond au problème.

 #9 - 05-05-2011 16:51:28

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Neuff chiffres

Je dirais que ce nombre le plus grand commence par 9

avec 1 chiffre : 9 et 5 donnent 918273645

s'il est à 2 chiffres, le suivant en aura 3 , puis 3 , puis 3 on ne tombe pas sur 9 chiffres
idem pour 3 + 4 + 4

Reste 4 chiffres : 9327 et 2 : 932718654

 #10 - 05-05-2011 17:21:21

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Nef chiffres

J'avais eu l'idée toute simple de 918273645, mais il doit y avoir mieux car la case réponse ne valide pas.

En commençant par un nombre a deux chiffres, ça ne marchera pas : il faudrait que ce nombre vale au moins 92, mais alors les multiples suivants auront trois chiffres et on ne formera pas un nombre de 9 chiffres (même problème avec un nombre initial a trois chiffres).

On doit donc trouver un nombre de la forme 9***, dont le double sera de la forme 18***. Le deuxième chiffre de n sera alors 2 ou 3. Essayons 3 : 93** --> 186** ou 187**.

Le premier cas sur les deux nous laisse les chiffres 2457, et 2*27 = 54, donc on forme 932718654.

Le second cas nous laisse 2456 qui ne donne rien.

Sans la case réponse, je n'aurais pas trouvé smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 05-05-2011 17:23:39

fabb54
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 37

neuf chifdres

Avant de se creuser les meninges, notons que :

- k < 9876
- Un couple trivial pourait être (9;5);donnant un nombre réponse de 918273645.
- k >91 , il est aisé de vérifier que les valeurs de k comprises entre 92 et 99 ne donnent pas de meilleur résultat.
donc, on en déduit que , s'il il existe au moins une meilleur solution , alors, elle doit nécessairement appartenir à l'intervalle suivant :  [9183; 9487] (les valeurs type 983 ne peuvent pas donner 9 chiffres par concatenation)

On peut éliminer toutes les valeurs de k restantes qui finissent par 0,3 ou 5, ce qui nous fait tout de même 903 valeurs possibles de k .
!

Pour la suite, excel m'a un peu aidé smile

Et on trouve (93271;2) , qui, après concaténation, nous donne 932718654 la solution au problème !

 #12 - 05-05-2011 17:27:41

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2209

Neuf chifres

Si n = 9327 et k = 2 alors x = 932718654.

 #13 - 05-05-2011 17:30:12

fl0riane
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1

neif chiffres

il y a deux solutions :
n=1 et k=9 ou n=9 et k=5.
Mais comme on nous demande le plus grand, alors :
n=9 et k=5 ce qui donne :
918273645

 #14 - 05-05-2011 18:45:43

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

NNeuf chiffres

le plus grand est :
932718654 : 2*9327
et le plus petit :
192384576 : 3*192

 #15 - 05-05-2011 18:49:24

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Neuf chhiffres

On suppose que N commence par 9.
Le tableau suivant donne le nombre de chiffres au total en fonction de K et du nombre de chiffres de N

Code:

N   2N   K=2  3N   K=3  4N   K=4  5N   K=5
1    2    3    2    5    2    7    2    9
2    3    5    3    8    3   11    X    X
3    4    7    4   11    X    X    X    X
4    5    9    X    X    X    X    X    X
5    6   11    X    X    X    x    X    X

Il y a donc deux cas possibles : N fait 1 chiffre et k=5 ou bien N fait 4 chiffres et k=2

Cas 1/ N fait 1 chiffre
N=9, k=5, total = 918273645
Pas mal, considérons le cas suivant...


Cas 2/ N fait 4 chiffres
N=9ABC, 2N = 1DEFG
Si A >=5, alors D = 9 pour cause de retenue, mais le 9 est déjà utilisé.
Donc A vaut 2, 3 ou 4

Cas 2.1/ A=4
N=94BC, 2N=18EFG
E vaut 8 ou 9 suivant la retenue, mais les deux sont déjà utilisés ailleurs

Cas 2.2/ A=3
N=93BC, 2N=18EFG
Si B=7, alors E=7
Si B=6, alors N=936C, 2N=187FG avec F qui vaut 2 ou 3; le 3 étant déjà pris, il s'agit donc du 2 : N=936C, 2N=1872G. Cependant, C=4 et C=5 donnent un mauvais résultat
Si B=5, alors N=935C, 2N=187FG avec F qui vaut 0 ou 1, 0 n'est pas possible et 1 est déjà pris
Si B=4, N=934C, 2N=186FG avec F qui vaut 8 ou 9, les deux sont déjà pris
Si B=2, N=932C, 2N=186FG avec F qui vaut 4 ou 5. Pour C=7, G=4 et F = 5.

Donc 932718654 est la réponse

Pour le fun, la liste exhaustive :
N=9273; k=2 => 927318546
N = 9267; k=2 => 926718534
N = 9; k=5 => 918273645
N = 7932; k=2 => 793215864
N = 7923; k=2 => 792315846
N = 7692; k=2 => 769215384
N = 7329; k=2 => 732914658
N = 7293; k=2 => 729314586
N = 7269; k=2 => 726914538
N = 6927; k=2 => 692713854
N = 6792; k=2 => 679213584
N = 6729; k=2 => 672913458
N = 327; k=3 => 327654981
N = 273; k=3 => 273546819
N = 219; k=3 => 219438657
N = 192; k=3 => 192384576

 #16 - 06-05-2011 01:24:42

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Neuf chifffres

Je trouve:
918273645
puis:
932718654


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #17 - 06-05-2011 01:59:47

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

nruf chiffres

Après avoir bêtement essayé 918273645, je propose 932718654 avec n=9327 et k=2.


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #18 - 06-05-2011 03:40:39

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

neyf chiffres

La première réponse qui vient à l'esprit est bien sur n=9 et k=5 qui donne 918273645... Mais ça serait trop facile. big_smile

Cherchons donc s'il existe une réponse supérieur, en partie parce que c'est là la démarche la plus rigoureuse, mais surtout parce que la case réponse m'a envoyé paître.hmm

S'il existe un nombre supérieur, alors n commencera forcément par un 9.

Intéressons nous pour commencer au nombre de chiffre dans n
- Si n possède deux chiffres, alors avec k=3, j'obtiendrais un nombre à 8 chiffres et avec k=4, un nombre à 11 chiffres. Donc pas bon.
- Si n possède trois chiffres, alors avec k=2, j'obtiendrais un nombre à 7 chiffres et avec k=3, un nombre à 11 chiffres. Donc pas bon non plus.
- Si n possède quatre chiffres, alors avec k=2, j'obtiendrais un nombre à 9 chiffres. Bingo!

On aurait donc 9000 < n < 9999 (En gros, on va très vite réduire ça)

Tout d'abord, mon chiffre des milliers est 9, donc quand je vais multiplier par 2, je vais obtenir 18 milliers ou 19 si j'ai une retenue et 19, ça me ferait deux 9, donc pas bon.
De plus, il ne doit pas y avoir de 0.

On aurait donc 9100 < n < 9499 (Très vite...)

Si mon chiffre des centaines est un 1, alors ça me ferait un double d'avec mon 18 après la multiplication du 9 par 2. Exit le 1.
Si mon chiffre des centaines est un 4, alors après la multiplication par 2, ça me ferait un 8 ou un 9 si retenue. Exit le 4.


On aurait donc 9200 < n < 9399 (Très vite indeed tongue)

Je cherche le chiffre le plus grand, on va donc commencer par étudier n avec 3 pour centaines.
J'aurais donc un nombre de la forme: 93ab qui donnera 93ab18cde
Avec a et b dans {2,4,5,6,7}

Comme on l'a vu précédemment, mon 4 multiplié par 2 me donnera un 8 ou un 9. Et on a dit : pas bon.
Donc on a a et b dans {2,5,6,7}

- Premier cas: Mon 3 se mange une retenue et donne un 7.
Alors a est dans {5,6} et b est dans {2,5,6}

Un peu de brute-force n'a jamais tué personne (enfin je crois hmm):
9365 => 936518730 Pas bon, un 0
9362 => 936218724 Pas bon, double 2
9356 => 935618712 Pas bon, double 1
9352 => 935218704 Pas bon, un 0

- Deuxième cas: Mon 3 me donne un 6.
Alors a vaut forcément 2 (le seul qui ne donne pas de retenue)
et b est alors dans {5,7}.
9327 => 932718654 Final Bingo!

On aura donc n=9327 et k=2


There's no scientific consensus that life is important

 #19 - 06-05-2011 11:32:20

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

neuf cgiffres

78156234

 #20 - 06-05-2011 15:27:58

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

neuf cjiffres

Meilleure solution pour le moment:

n=9 et k=5 --> N=918273645

n à 2 chiffres ne donne pas mieux.
n à 3 chiffres non plus.

Je vais chercher dans le n à 4 chiffres avec n>9182.

Solution:

n = 9327
k = 2
N = 932718654

 #21 - 06-05-2011 15:30:42

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2124

Neuf ciffres

J'obtiens 927318546, mais, il doit y avoir plus grand hmm


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #22 - 06-05-2011 15:43:52

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Neuff chiffres

Je vais chercher à obtenir un nombre de 9 chiffres, et qui, si possible commence par 9.
                900 000 000
        +        18 000 000
        +             270 000
        +                3 600
        +                     45
               ____________
        =      918 273 645   

Comme par hasard (mais pas tout à fait big_smile ), tous les chiffres sont différents !

 #23 - 06-05-2011 17:07:40

Autleaf
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Messages : 69
Lieu: Toulouse

Neuf chifffres

J'aurais tendance à penser que le plus grand nombre se doit de commencer par un 9. Et par chance, les multiples de 9 ont des chiffres différents. D'où le nombre 918273645... Sauf que c'est pas ça sad

 #24 - 10-05-2011 08:41:20

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

NNeuf chiffres

Beaucoup de bonnes réponses. Bravo a tous !

 

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