Le nombre qui vient immédiatement à l'esprit est 918273645 avec n=9 et k=5.
Mais non validé par la case réponse.

J'en déduis qu'il y a mieux

Le nombre cherché commence forcément par 9.

Si le nombre n avait 2 chiffres, ses multiples suivants auraient 3 chiffres. On ne peut pas arriver à un nombre à 9 chiffres ainsi.

Si le nombre n avait 3 chiffres, les multiples suivants auraient 4 chiffres. On ne peut pas arriver à un nombre à 9 chiffres ainsi.

Avec un nombre n à 4 chiffres, son double a 5 chiffres, et on peut espérer trouver un nombre qui fonctionne.
Notons également que le 1 sera utilisé comme premier chiffre du double.

Le second chiffre ne peut pas être supérieur ou égal à 5, car sinon le 9 apparaîtrait dans le double : 95xx*2=19xxx
Notons qu'alors le 8 sera pris comme second chiffre du double.
Il reste 4,3, ou 2 pour le second chiffre.

Essayons avec 4.
Si le troisième chiffre était supérieur ou égal à 5, on aurait : 94xx*2=189xx => impossible.
Mais s'il est inférieur à 5, alors 94xx*2=188xx : impossible aussi.

Il reste alors 3 ou 2.
Essayons avec 3.
Il nous reste les chiffres 2,4,5,6,7 à placer, et notre nombre s'écrit n=93xx, son double 18xxx
Le dernier chiffre de n ne peut pas être 4 ni 5 (le double ne peut se terminer ni par 0 ni par 8). Il reste 2,6,7
Essayons n=93x2
9372*2=18744 non
9362*2=18734 non
9352*2=18704 non
9342*2=18684 non

Essayons alors avec 6
9376*2=18752 non
9356*2=18712 non
9346*2=18692 non
9326*2=18472 non

Essayons avec 7
9367*2=18734 non
9357*2=18714 non
9347*2=18694 non
9327*2=18654 oui !!!

Je suis donc assuré que le nombre 932718654 est le plus grand possible.
Mais la case réponse ne le valide pas

EDIT
Si, maintenant elle le valide

Bravo a Looping !
Franck pas loin ^^.

Si n a un chiffre, essayons 9:
9 18 27 36 45 satisfait les conditions.
Est-ce le plus grand résultat?

Si n a 2 chiffres et que le premier chiffre est 9 (sinon le nombre ci-dessus est plus grand), 2n et 3n et 4n ont 3 chiffres et la concaténation ne peut avoir 9 chiffres.

Idem si n a 3 chiffres.

Reste le cas de n à 4 chiffres, dont le premier est un 9.
Si le deuxième chiffre est plus grand que 4 et donc n commence par 95, 2n commence par 19 d'où répétition du 9.
Si le deuxième chiffre est un 4, n=94.., 2n commence par 188 (répétition du 8 ou 189 répétition du 9).

Si n commence par 93, 2n commence par 186 ou 187.
Cas 187: restent les chiffres 2456 à placer sachant que pour avoir la retenue donnant le 7 de 187, le 3eme chiffre de n est 5 ou 6. 3eme chiffre à 5 n'est pas possible car le 3eme chiffre de 2n serait 0 ou 1. Donc le 3eme chiffre est 6 et aucune combinaison ne convient.

Cas 186: restent les chiffres 2457 à placer sachant que pour ne pas avoir de retenue pour le 6 de 186, le 3eme chiffre de n est 2 ou 4. 4 ne convient pas sinon 8 ou 9 dans 2n. Donc n=932. 2n=186(4|5).

On trouve finalement n=9327, 2n=18654 et k=2 donnant le nombre 932718654 validé par la case réponse.

Merci pour cette énigme.

Je rajouterai même qu'il n'existe que 3 nombres de ce genre :

918273645 n=9 k=5
926718534 n=9267 k=2
932718564 n=9327 k=2

926718534 se trouve en considérant les nombres à 4 chiffres s'écrivant 92xx, un seul répond au problème.

J'avais eu l'idée toute simple de 918273645, mais il doit y avoir mieux car la case réponse ne valide pas.

En commençant par un nombre a deux chiffres, ça ne marchera pas : il faudrait que ce nombre vale au moins 92, mais alors les multiples suivants auront trois chiffres et on ne formera pas un nombre de 9 chiffres (même problème avec un nombre initial a trois chiffres).

On doit donc trouver un nombre de la forme 9***, dont le double sera de la forme 18***. Le deuxième chiffre de n sera alors 2 ou 3. Essayons 3 : 93** --> 186** ou 187**.

Le premier cas sur les deux nous laisse les chiffres 2457, et 2*27 = 54, donc on forme 932718654.

Le second cas nous laisse 2456 qui ne donne rien.

Sans la case réponse, je n'aurais pas trouvé

Si n = 9327 et k = 2 alors x = 932718654.

le plus grand est :
932718654 : 2*9327
et le plus petit :
192384576 : 3*192

Je trouve:
918273645
puis:
932718654

La première réponse qui vient à l'esprit est bien sur n=9 et k=5 qui donne 918273645... Mais ça serait trop facile.

Cherchons donc s'il existe une réponse supérieur, en partie parce que c'est là la démarche la plus rigoureuse, mais surtout parce que la case réponse m'a envoyé paître.

S'il existe un nombre supérieur, alors n commencera forcément par un 9.

Intéressons nous pour commencer au nombre de chiffre dans n
- Si n possède deux chiffres, alors avec k=3, j'obtiendrais un nombre à 8 chiffres et avec k=4, un nombre à 11 chiffres. Donc pas bon.
- Si n possède trois chiffres, alors avec k=2, j'obtiendrais un nombre à 7 chiffres et avec k=3, un nombre à 11 chiffres. Donc pas bon non plus.
- Si n possède quatre chiffres, alors avec k=2, j'obtiendrais un nombre à 9 chiffres. Bingo!

On aurait donc 9000 < n < 9999 (En gros, on va très vite réduire ça)

Tout d'abord, mon chiffre des milliers est 9, donc quand je vais multiplier par 2, je vais obtenir 18 milliers ou 19 si j'ai une retenue et 19, ça me ferait deux 9, donc pas bon.
De plus, il ne doit pas y avoir de 0.

On aurait donc 9100 < n < 9499 (Très vite...)

Si mon chiffre des centaines est un 1, alors ça me ferait un double d'avec mon 18 après la multiplication du 9 par 2. Exit le 1.
Si mon chiffre des centaines est un 4, alors après la multiplication par 2, ça me ferait un 8 ou un 9 si retenue. Exit le 4.


On aurait donc 9200 < n < 9399 (Très vite indeed )

Je cherche le chiffre le plus grand, on va donc commencer par étudier n avec 3 pour centaines.
J'aurais donc un nombre de la forme: 93ab qui donnera 93ab18cde
Avec a et b dans {2,4,5,6,7}

Comme on l'a vu précédemment, mon 4 multiplié par 2 me donnera un 8 ou un 9. Et on a dit : pas bon.
Donc on a a et b dans {2,5,6,7}

- Premier cas: Mon 3 se mange une retenue et donne un 7.
Alors a est dans {5,6} et b est dans {2,5,6}

Un peu de brute-force n'a jamais tué personne (enfin je crois ):
9365 => 936518730 Pas bon, un 0
9362 => 936218724 Pas bon, double 2
9356 => 935618712 Pas bon, double 1
9352 => 935218704 Pas bon, un 0

- Deuxième cas: Mon 3 me donne un 6.
Alors a vaut forcément 2 (le seul qui ne donne pas de retenue)
et b est alors dans {5,7}.
9327 => 932718654 Final Bingo!

On aura donc n=9327 et k=2

Meilleure solution pour le moment:

n=9 et k=5 --> N=918273645

n à 2 chiffres ne donne pas mieux.
n à 3 chiffres non plus.

Je vais chercher dans le n à 4 chiffres avec n>9182.

Solution:

n = 9327
k = 2
N = 932718654

Je vais chercher à obtenir un nombre de 9 chiffres, et qui, si possible commence par 9.
                900 000 000
        +        18 000 000
        +             270 000
        +                3 600
        +                     45
               ____________
        =      918 273 645   

Comme par hasard (mais pas tout à fait ), tous les chiffres sont différents !

Beaucoup de bonnes réponses. Bravo a tous !