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 #26 - 25-05-2011 18:50:59

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

remplissahe du plan

Un mathématicien et un ingénieur assistent à la conférence d'un éminent physicien concernant les théories de Kulza-Klein sur les processus physiques intervenant dans les espaces de dimension 9.

Le mathématicien est assis et apprécie beaucoup la conférence, pendant que l'ingénieur fronce les sourcils et semble complètement embrouillé. A la fin, le mathématicien et l'ingénieur,qui a un énorme mal de crâne, commentent la conférence.
L'ingénieur : "Comment fais-tu pour comprendre tout cela ?"
Le mathématicien : "Il suffit de visualiser le processus."
L'ingénieur : "Mais comment peux-tu visualiser un processus intervenant dans un espace de dimension 9 ???"
Le mathématicien : "C'est simple. D'abord tu visualises le processus en dimension n, et ensuite il suffit de prendre n=9."."


The proof of the pudding is in the eating.

#0 Pub

 #27 - 25-05-2011 18:58:40

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

rzmplissage du plan

Je sais ce qu'on peut faire en Math, mais je sais aussi ce qui a été écrit dans cette enigme.
L'intégration fait justement appel à des dx aussi fins que l'on veut mais qui sont malgré tout de dimension continue, et dans le plan donc une largeur réelle, proche  de zéro mais pas zéro.
Pour le dessin, je le répète: la surface d'un cercle est nulle. Si on trace x, x entier, alors x*o=0
Il faut alors en arriver à tracer une infinité de cercles (même pour un plan limité).
Infini*zéro= ?

Autre exemple plus simple: trouver 2 points sur une ligne tels qu'il soit impossible d'en insérer un troisième entre eux. C'est évidemment impossible.
Et on pourra mettre autant de points que l'on veut, il restera tjs entre eux assez de place pour en mettre une infinité.
L'infinité des points dans ces conditions est-telle capable de boucher le trou des espaces ? ben non, selon le schéma décrit: l'algo: "2 points positionnés=1 espace créé" ne permet pas de "boucher les trous".
Mais bon, c'est plus du wishfull que de la démo, et proche de la physique que de la théorie mathématiques.
Il n'empêche....

 #28 - 25-05-2011 19:06:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Remplissage du paln

Nodjim smile

La théorie des ensembles et l'école Bourbaki a été crée pour éviter ces polémiques qui perdent leurs sens quand chaque terme est clairement défini .

Vasimolo

 #29 - 25-05-2011 19:22:19

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
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remplisqage du plan

@nodgim:

En primaire, le prof m'a donné comme définition du cercle de centre O de rayon r: l'ensemble des points qui sont à distance r de O.
Donc en primaire on savait déjà qu'une courbe peut être vue comme un ensemble de point.

De même tu peux remplir un plan avec des points. Il suffit de dire que le plan, c'est l'ensemble des points du plan (Lapalisse aurait pas dit mieux cool).

 #30 - 26-05-2011 13:01:05

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

remplisqage du plan

nodgim a écrit:

L'intégration fait justement appel à des dx aussi fins que l'on veut mais qui sont malgré tout de dimension continue, et dans le plan donc une largeur réelle, proche  de zéro mais pas zéro.

Ah bon ? On m'a toujours dit que l'intégration était justement la limite de la somme de rectangles de largeur dx lorsque dx tendait vers 0... Donc, quand on intègre, le dx n'est plus strictement positif, puisqu'on a sauté la barrière du "non nulle" en passant de la somme à l'intégration, non ? On transforme donc en surface une infinité de segments, de la même manière qu'on peut voir un cube comme un "mille-feuilles infini" (un empilement d'une infinité de carrés).

L'argument "on ne peut pas créer un plan avec des objets de dimension 1 serait alors fallacieux, me semble-t'il.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #31 - 27-05-2011 17:21:42

nodgim
Elite de Prise2Tete
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remolissage du plan

Démonstration de l'impossibilité de remplir une droite avec des points:

On met 2 points p1 et p2 d'abscisse différente x1 et x2 sur un axe 0x: Il y a entre x1 et x2 une infinité de positions pour placer 1 point p3 d'abscisse x3; On le place. Entre p1 et p3 ou p1 et p2, il y a à nouveau un intervalle non nul qui permer de positionner un pt p4. Etc.....
On peut poser une infinité de pts sur une droite, on ne pourra jamais reconstituer la droite en entier.
Démonstration à rapporter à tout objet de dimension n vis à vis d'un ensemble de dimension n+1.

Il est à noter que l'intégrale d'une fonction fait appel à dx, différentiel de dimension aussi petite que l'on veut mais non nulle.

C'est là toute la différence entre le continu et le discret.

 #32 - 27-05-2011 18:07:21

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
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rzmplissage du plan

nodgim a écrit:

Démonstration de l'impossibilité de remplir une droite avec des points:

On met 2 points p1 et p2 d'abscisse différente x1 et x2 sur un axe 0x: Il y a entre x1 et x2 une infinité de positions pour placer 1 point p3 d'abscisse x3; On le place. Entre p1 et p3 ou p1 et p2, il y a à nouveau un intervalle non nul qui permer de positionner un pt p4. Etc.....
On peut poser une infinité de pts sur une droite, on ne pourra jamais reconstituer la droite en entier.

Ca démontre également qu'une flèche n'atteint jamais sa cible. =D
Elle parcourt la moitié de la distance, puis la moitié de la moitié de la distance et ainsi de suite indéfiniment de sorte que la flèche doit traverser une infinité d'intervalle pour atteindre la cible.
Or, elle y arrive bien, la flèche.

Une droite est constitué d'une infinité de point. Il les faut tous, inutile d'essayer de les énumérés. Il ne faut pas s'amuser à prendre le point p3 entre p1 et p2 puis p4 entre p2 et p3, il faut prendre tout les points entre p1 et p2. Tous ces points constituent le segment p1 p2.
Les points forme un continuum non dénombrable.

Je comprends pas ce qui coince en fait.

 #33 - 28-05-2011 07:42:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Rempissage du plan

Je ne peux pas répondre à tous, mais dans l'ensemble la contestation vient des montages mathématiques qu'on nous a appris.

Pour la flêche c'est simple: le temps s'écoule pour nos sens humains de manière régulière, mais quand il reste à la flêche la moitié de la distance, elle le parcourt en moitié moins de temps. Donc le paradoxe est vite levé.

L'algo que je propose est infini: toujours des points et des intervalles entre eux. Comment dans ces conditions boucher les intervalles avec des points ? Comment passer du schéma "point-intervalle" à 'points touche touche"?
Impossible bien sûr.

J'ai répondu au problème posé du remplissage en me servant uniquement de la représentation Euclidienne qui est faite de points, lignes, plans, rien de plus.
Si cette vision n'est pas en accord avec certains aspects des mathématiques (courbe de Péano, par exemple) tant pis, mais je voudrais qu'on me dise où je me trompe. L'algo est fallacieux ?  je veux bien mais où ?

Au plaisir de vous lire.

 #34 - 28-05-2011 07:57:51

gwen27
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Remmplissage du plan

Je pense que c'est l'acceptation qui te manque. Quand tu traces un cercle, tu utilises une quantité finie de graphite... Arrives-tu à admettre que ce cercle représente malgré tout une infinité de points de largeur nulle ? Il ne s'agit pas de compter les points, mais de prendre la notion de cercle dans sa globalité.

En admettant ça, on accepte vite que des cercles accolés puissent remplir une surface. On ne pourra pas les compter c'est sûr !

A  l'inverse de ton raisonnement, il faudrait que tu puisses prouver qu' un seul des points du plan n'est pas couvert par un unique cercle tel que défini... On tourne en rond

C'est même cette infinité de points entre deux points qui permet de valider la solution pour  des cercles avec un point manquant. Elle permet de tracer une infinité de cercles autour du point de tangence, plus besoin de cercles concentriques.

 #35 - 28-05-2011 11:12:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
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relplissage du plan

Pas de problème pour un cercle qui est une ligne continue.

Attention, tout de même, le cercle idéal ne consomme pas de graphite (surface nulle)!

Pas d'accord pour dire qu'on peut remplir une surface d'aire donnée avec des lignes d'aire nulle.

Je propose un modèle, on ne me dit que c'est pas comme ça qu'il faut réfléchir, etc..
je veux bien l'admettre, mais je voudrais aussi qu'on démontre l'absurdité de ma démarche qui, je le répète, ne fait appel qu'à des objets mathématiques simples. Ou alors admettre cette double réalité: on peut et on ne peut pas remplir. Y a du Godel dans l'air (e)...

 #36 - 28-05-2011 14:02:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
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remplisszge du plan

Entièrement d'accord avec toi!
Le problème initial est: remplir un plan avec des cercles, ou une ligne avec des points.
L'algo que je propose ne le permet pas, on est d'accord.
Comment s'y prend t 'on alors, pour passer du rien au tout ?
Un coup de baguette magique ?
C'est juste une question constructiviste. Puisque le problème initial parle bien de ça !

 #37 - 28-05-2011 16:17:25

nodgim
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Remplissage ud plan

Ben non.
Ce que j'ai dit pour les points (dim 0) avec une droite (dim 1) vaut pour des cercles (dim 1) avec le plan (dim 2). Avec le plan, il restera tjs des morceaux d'aire entre les arcs de cercle.

 #38 - 28-05-2011 17:50:50

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
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Remplissage du pan

nodgim,

Le soucis vient bien de la façon dont tu as compris le problème.
Quand on dit remplir un plan avec des cercles, il ne faut pas s'imaginer que l'on trace les cercles un par un et de voir si au final on peut remplir tout le plan. En fait il fallait interpréter ça comme: est-ce qu'il existe une collection de cercles telle que si je considère cette collection dans sa globalité, alors elle remplit tout le plan.


Par exemple si je te dis que chaque point du plan fait parti d'une droite horizontale, ça ne te choque pas? Donc je peux dire que le plan est la réunion de toutes les droites horizontales. Une autre façon de l'écrire est: les droites horizontales remplissent le plan.

 #39 - 28-05-2011 19:52:21

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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remplossage du plan

Je trouve que la courbe de Peano n'est pas tout à fait la même chose que la bijection du segment [0,1] et du carré [0,1]²...

La courbe couvre en quelque sorte alors que la bijection se fait point par point, je sais pas si je m'exprime très bien...


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #40 - 28-05-2011 22:10:16

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

rzmplissage du plan

oui en termes application la bijection est plus forte mais intuitivement la courbe de Peano c'est autre chose non, il y a la continuité.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #41 - 29-05-2011 08:20:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Remplissag edu plan

La réponse d'Irmo322 me convient bien. Le problème aurait pu être posé de manière différente:
"Tous les points du plan appartiennent ils à un cercle qui fait partie de l'ensemble des cercles disjoints de rayon non nul et non infini du plan ?".

Ce qui est quand même différent de la question originale, et qui a l'avantage de respecter le langage mathématique.

Du coup je comprends aussi la courbe de Péano, à voir non pas comme un "remplissage" mais de cette manière: "Tout point du plan est en relation de bijection avec un point d'un segment de droite donné".

 #42 - 29-05-2011 08:33:45

emmaenne
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Lieu: Au sud du Nord

Remplsisage du plan

Ce qui est génial dans ce genre de sujet c'est que plus je lis les explications moins je comprends. lol


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #43 - 29-05-2011 11:39:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
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rempliqsage du plan

C'est que ce problème est d'une extrême complexité, malgré la simplicité de la question.
Car à la démo généralement admise qui montre qu'au moins un centre de cercle ne pourra être couvert par un cercle, on peut opposer cette assertion:
"N'importe quel point du plan est couvert par un cercle de rayon non nul, aussi petit soit il". 

C'est reparti pour 1 tour....

 #44 - 31-05-2011 13:45:46

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Rempllissage du plan

Je ne comprends pas la dernière assertion de Nodgim. Et je voudrais  signaler que j'avais ouvert dans Blabla une conversation sur le passage d'une dimension à une autre où l'on pourra discuter de cela sans gêner ceux qui voudraient juste lire les réponses à la question initiale.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #45 - 31-05-2011 14:38:30

Clydevil
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Seahaven island

Remplisasge du plan

Pfiou he be il n'y a pas grand chose de rigoureux dans ce post beaucoup de gens n'ont pas compris la question de base et même la solution proposée n'est vraiment pas rigoureuse ^^.
Il y a régulièrement des confusions entre discret,  infini, continue, dénombrabilité etc...
J'ai vu que certains le savaient parfaitement et avait renoncé à intervenir.
Perso j'ai pas pu résister je viens quand même dire un truc relativement stérile qui se résume à "doucement les jeunes mais vous faites vraiment fausse route".
Je conseille vraiment de tenter de mettre un sens clair sur les termes suivant pour ceux qui ne verraient pas instantanément le concept derrière smile ca peut être intéressant si on le sort du mysticisme qui semble bien plaire tongue

-Ensemble.
-Tendre vers/passage à la limite.
-Fini.
-Infini dénombrable.
-Infini non dénombrable.
-Continue.
-Discret.

PS: comme mon intervention ne dit pas grand chose en dehors de grogner tongue je suis toujours prêt à en discuter par mail mais uniquement si c'est une vraie discussion.

Je donne cependant des contres exemples aux arguments de certains qui se reconnaitront:

-La droite des rationnels (fraction d'entiers relatifs) est constitue d'une infinité dénombrable d'éléments, on peut bien voir qu'entre 2 éléments de cet ensemble il y a toujours au moins un autre élément, pourtant ca n'a strictement rien à voir avec du continu.

-Avec une infinité non dénombrable de cercles concentriques de rayon non nul et centrés sur l'origine on recouvre tout le plan à l'exception de l'origine et on a pourtant pas eu a utiliser un cercle de rayon infini. (Ce qui ne veut au passage rien dire du tout). (Le but de cette phrase n'est absolument de répondre à l'énigme car c'est clairement ce qu'elle ne fait pas).

-Avec une infinité non dénombrable de droites disjointes on peut parfaitement recouvrir le plan.

-Si on pouvait recouvrir le plan avec des cercles disjoints et de rayon non nul alors il doit nécessairement y en avoir une infinité non dénombrable. (cette phrase est un SI-ALORS)

etc...

 #46 - 31-05-2011 15:43:04

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

remplisqage du plan

Qu'est-ce qu'il y a de non rigoureux dans la démonstration que j'ai donnée?

Peut-être l'existence du point commun dans tous les cerles considérés?

IL suffit de considérer l'intersection décroissante de tous ces ensembles fermés (on prend les disques) dont le diamètre tend vers 0 dans l'espace complet qu'est R².

Le fait que ce point n'est recouvrable par aucun cercle?

Un cercle de rayon non nul qui passe par ce point intersecte un des cercles considérés car leur rayon tend vers 0.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #47 - 31-05-2011 16:28:30

Milou_le_viking
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Remplissage du lpan

Clydevil a écrit:

- La droite des rationnels (fraction d'entiers relatifs) est constitue d'une infinité dénombrable d'éléments, on peut bien voir qu'entre 2 éléments de cet ensemble il y a toujours au moins un autre élément, pourtant ca n'a strictement rien à voir avec du continu.

Ca me perturbe. ca fait bien longtemps que je me suis écarté de ses notions.
Un ensemble est dénombrable s'il existe une bijection entre cette ensemble et N l'ensemble des entiers.
On peut montrer que l'ensemble des couples d'entiers NxN est également dénombrables.
On en conclu donc que l'ensemble des rationnels est dénombrables. Ca fait bizarre quand même.
Mais du coup, j'aurais tendance à dire que l'ensemble des réels est dénombrable aussi.
J'ai un vague souvenir selon lequel les ensembles des rationnels et des irrationnels ont même densité ou un truc comme ça. Et que par conséquent, il y a autant de rationnels que d'irrationnels et même qu'il y a toujours un rationnels entre deux irrationnels et réciproquement. (mais ça reste très vague tout ça et peut-être faut). Du coup, l'ensemble des irrationnels est dénombrable à l'instar des rationnels. D'où la conclusion que l'ensemble des réels est dénombrable.
Ce qui a tendance à me turlupiner.

 #48 - 31-05-2011 16:46:42

rivas
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

remplissahe du plan

Petit résumé rapide alors:

L'ensemble des rationnels est dénombrable.
L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable (les rationnels sont algébriques).
L'ensemble des nombres transcendants (réels non algébriques) n'est pas dénombrable.
L'ensemble des irrationnels qui est composé de tous les nombres algébriques mais aussi des transcendants n'est pas dénombrable.
L'ensemble des réels n'est pas dénombrable. Il y a "beaucoup plus" de réels que de rationnels (très belle preuve de cela: la diagonale de Cantor, une des démonstration qui a marqué mon époque mathématique).

Par contre les 2 ensembles (rationnels et irrationnels) sont infinis et tous deux DENSES dans R. Ce qui veut dire plusieurs choses:
Tout rationnel est limite d'une suite d'irrationnels.
Tout irrationnel est limite d'une suite de rationnels.
Entre 2 rationnels on peut toujours trouver un irrationnel.
Entre 2 irrationnels on peut toujours trouver un rationnel.

Q est de mesure nulle dans R, ce qui exprime aussi la rareté des rationnels dans R.

 #49 - 31-05-2011 16:47:44

Clydevil
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Lieu: Seahaven island

Remplissage d uplan

>>Qu'est-ce qu'il y a de non rigoureux dans la démonstration que j'ai donnée?
>>Peut-être l'existence du point commun dans tous les cercles considérés?

Oui juste cette partie, je ne disais pas qu'elle était fausse mais qu'elle n'était pas rigoureuse ^^ donc forcement plus tu préciseras plus elle le deviendra tongue.
Mais si tu définis bien les ensembles que tu considères (famille de cercles emboites, de disques fermés issue des cercles etc...) le point que tu construis, la propriété qui en assure l'existence et éventuellement l'unicité si besoin etc..  il n'y a pas de probleme.
Dans ce genre de question de topo faut jamais passer à la limite trop vite, le bon sens marche souvent, mais il suffit d'une fois et hop après on évite le simple bon sens. Et il peut y en avoir des trucs pas intuitif avec le continu... des trucs atroces...
smile

 #50 - 02-06-2011 11:38:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

remplissahe du plan

Clydevil a écrit:

-Avec une infinité non dénombrable de droites disjointes on peut parfaitement recouvrir le plan.

Vite dit.
Méthode ?
La phrase laisse sous entendre que le plan est vide au départ....

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