Enigme Les pierres brisées (Rectifié) 1/2 @ Prise2Tete

Promath- · #1

Le gouvernement vient de trouver une nouvelle sorte de pierre: L'oster. Cette pierre a la particularité d'être très explosive et les plus grandes pierre oster font maximum 100g.
Pour trouver la valeur d'une oster, on met sa masse au cube (ex: 3g=3*3*3=27euros) puis on met en euros.
Un employé manipulait 2 pierres d'oster dans ses mains, qui avaient un poids en grammes exact ( il n'y avait pas de décimales à son poids.)
Mais les pierres ont explosé dans ses mains.
Chacune des pierres a perdu 8 grammes, ce qui represente une perte de 11248 euros au total.

Frustré, son patron l'a viré pour une telle somme. Il lui a dit:
"Tu nous a fait perdre 11248euros!"
Ensuite, l'employé s'est demandé quelles étaient les masses des deux pierres avant l'explosion.
Alors, Quelles étaient les masses des deux pierres avant explosion?

Bon courage... je suis fier de la difficulté.
on répondra sous forme:
1g;2g

nodgim · #2

Peux tu expliciter "chacune des pierres a perdu 8 grammes" ?
Dans l'explosion ? Il reste donc quelque chose des pierres qui ont explosé ?
Merci d'avance

gwen27 · #3

Wolfram alpha me dit : pas de solution entière.

MthS-MlndN · #4

Euh... Si une pierre qui pesait [latex]x[/latex] ne pèse plus que [latex]x-8[/latex], la perte est de [latex]x^3-(x-8)^3[/latex] euros, et ce nombre est toujours pair, donc je ne vois pas comment trouver une solution à ton problème.

esereth · #5

Bonjour

Un oster de x grammes vaut x^3 euros.
S'il perd 8 grammes, il vaut (x-8)^3 euros.
La perte est donc 24x^2 - 192x + 512 euros.
Même chose pour celui de y grammes qui perd 24y^2- 192y + 512 euros.

L'équation à résoudre est :
24 x^2 + 24y^2 - 192x - 192y + 1024 = 11248

Après réduction et division par 24, il vient :
X^2 - 8x + y^2 - 8y = 426

qu'on transforme en

(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 458

Or 458 = 17^2 + 13^2

On peut donc dire qu'une pierre pèse 21 grammes et l'autre 17 grammes

TiLapiot · #6

Bjr Promath (et les autres),

Après >35min sous Excel, en tentant de résoudre :
(Ai^3)-(Ai-8)^3 +(Bi^3)-(Bi-8)^3-11717=0

...puis avec Wolfram
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … ^3%3D11717

En vain...
Je n'ai hélas pas pu trouver de valeurs entières...?!
À suivre

L00ping007 · #7

Il me semble que la somme perdue devrait être paire, non ?

_____________________
Après correction de l'énoncé, je trouve finalement la seule solution :
17g et 21g
Le prix initial était de 14174€, et n'est plus que de 2926€, soit bien 11248€ de moins.

gwen27 · #8

La différence entre le cube d'un nombre et le cube de (ce même nombre -8) ne peut être que paire... 11717 étant impair, pas de solution possible.

Là, c'est plus raisonnable : Les poids sont forcement compris entre 8 et 25 grammes.

En cherchant les compléments, on trouve un couple unique : 21 et 17 g

Promath- · #9

En refaisant mon problème, je trouve la solution:
Précision:
1°LES 2 PIERRES ONT EXPLOSE
2°11248 EST BIEN LE TOTAL PERDU;
en esperant avoir été clair...

Promath- · #10

Pardon, je ne sais plus compter... Au lieu de soustraire 8 , j'ai soustrais 7.
Je modifie...

Je suis complètement ebahi...
W******* peut faire les equations!

Azdod · #11

17 Grammes et 21 Grammes .
17^3 + 21^3 - 9^3 - 13^3 = 11248
Merci pour cette enigme

Azdod

FRiZMOUT · #12

17g;21g.

rivas · #13

Soit x et y les masses des pierres avant l'explosion.

On cherche x et y tels que:
[TeX]x^3-(x-8)^3+y^3-(y-8)^3=11248[/TeX]
Soit: [latex]8(3x^2-24x+3y^2-24y)=10224[/latex]

Soit: [latex]x^2-8x+y^2-8y=426[/latex]

Soit: [latex](x-4)^2+(y-4)^2=458[/latex]

Soit en posant X=x-4 et Y=y-4:
[TeX]X^2+Y^2=458[/TeX]
X et Y étant entiers, et chacun plus petit (strictement) que 22, la recherche n'est pas longue: On trouve 13 et 17 pour X et Y, soit 17 et 21 pour x et y.

Les solutions sont donc 17g et 21g validées par la case réponse.

Merci pour cette énigme.

Promath- · #14

Bravo... La réponse est celle ci...

C'est vrai qu'avec W******* **** ca change tout...

rivas · #15

Euh, je n'ai pas eu besoin de Wolfram pour simplifier l'expression ni pour résoudre [latex]X^2+Y^2=458[/latex] en entier. Il suffit de jeter un oeil rapide à une table de carrés de 1 à 21.

papiauche · #16

C'est sûr que W***, ça dégage

En deux coups de cuillère à pot, on trouve:
17 et 21 g.

irmo322 · #17

Pas facile...

Juste une question: les nouvelles pierres (qui résultent de l'explosion) ont aussi un poids en gramme exact?

NickoGecko · #18

Bonjour !

Je suis aussi impressioné par Wolfram Alpha qui propose comme solutions entières (et positives) 17 et 21.

Petite vérification sur mon tableur préféré :

Merci pour cette énigme !

Promath- · #19

Barvo
@ irmo Si elles perdent exactement 8 grammes, alors...

irmo322 · #20

Ok, c'est juste que je pensais qu'une pierre pouvait exploser en plusieurs morceaux.

Par exemple la première pierre fait vingt grammes, elle explose en deux pierres de 5,5g et 6,5g, elle a donc globalement perdu 8 grammes.
Vu comme ça le problème se complique pas mal!

halloduda · #21

Soient x et y les deux masses.

EDIT après correction faute de calcul

On a perdu x³+y³-(x-8)³-(y-8)³=11248 €.
soit 24x²-192x+24y²-192y+2x512=11248
ou x²+y²-8(x+y)=426
qui peut s'écrire
(x-4)²+(y-4)²=426+2x16=458

solution x-4=17 ; y-4=13

On trouve x=21g, y=17g.

scarta · #22

On note les deux poids a et b. On a:

a^3 + b^3 - (a-8)^3 - (b-8)^3 = 11248
24a² - 192a + 512 + 24b² - 192b +512 = 11248
a²+b² - 8(a+b) = 426

A partir de là, on peut tatonner, mais je préfère une autre méthode:
On pose S = a+b; P = a.b
a²+b² - 8(a+b) = 426
a²+b²+2ab -2ab - 8(a+b) = 426
(a+b)² - 8(a+b) -2ab = 426
P=S²/2-4S-213

On peut donc trouver a et b en fonction de S via l'équation du second degré suivante:
X²-SX+S²/2-4S-213 = 0
Delta = S²-2S²+16S+852 = 16S+852-S²

Ce Delta est un carré parfait en théorie, donc on aurait
S²-16S-852+q² = 0
DeltaBis = 256 + 3408 - 4q² = 4(916-q²)

S vaut donc 8 +/- sqrt(916-²q). Comme les 2 pierres ont perdu 8 grammes chacune, alor s > 8 donc
S = 8 + sqrt(916-q²)
Du coup, a et b valent:

a = (8 + sqrt(916-q²) - q)/2 et b = (8 + sqrt(916-q²) + q)/2

Reste plus qu'à identifier q. On sait que z²+q² = 916 = 2.2.229
Le théormème des 2 carrés nous indique qu'il n'y a que deux solutions: q=4 ou q=30 (et z=30 ou z=4)
On élimine le cas q=30 (a serait négatif); donc q=4.

On trouve donc: a=(8+30-4)/2 = 17 et b= (8+30+4)/2 = 21

La réponse est donc 17 et 21 grammes

dhrm77 · #23

Est-ce que apres l'explosion les 2 pierres deviennent 4 pierres (dont 2 de 8 grammes)? ou les 16 grammes s'évapore?

edit...
apparement les 8 grammes s'evaporent, sinon il n'y a pas de solution.

La solution est 17 et 21.

Promath- · #24

irmo: elles explosent en 1 pierre chacune
halloluda: Non
scarta: Bravo!
dhrm77: après l'explosion chacune des pierres a perdu 8 grammes, mais les 8 grammes s'évaporent, il y a donc -16 grammes au total.

golgot59 · #25

Avec un tableau a double entrée sur tableur, on trouve facilement 17 et 21 grammes.

Sinon ça revient à résoudre dans N l'équation : x²+y²-8(x+y)=426

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Les pierres briseés (Rectifié)

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