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 #1 - 24-09-2010 19:42:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

fâteau 34

La dernière colle que je lui ai posée ne l'a pas calmé bien longtemps , le voilà qui rapplique avec un nouveau problème 100% prise 2 tête big_smile

Pour ceux qui découvrent la série , je parle bien sûr de mon pâtissier que je vois un peu moins souvent ces temps-ci au grand bonheur de mon tour de taille lol

Bon , voilà sa dernière trouvaille :

Il a réalisé un quatre-quarts carré qu'il a coupé en quatre comme indiqué sur le dessin à gauche ci-dessous . La vue de tous ces triangles rectangles lui a donné envie de tracer des hauteurs et encore des hauteurs ( dessin de droite ) .

http://img710.imageshack.us/img710/4158/quatrequarts.jpg

Il aimerait bien trouver un découpage où toutes les parts seraient de tailles différentes mais il n'y arrive pas . 

Qui veut l'aider ????

Vasimolo

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] Le découpage n'est pas possible mais pourquoi ?

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] Chaque coupe d'un triangle de taille T produit 2 triangles dont les tailles sont aT et bT ( a et b constantes ) . On peut noter (i;j) le triangle produit d'un original I par i+j coupes et dont la taille est a^i.b^j.I ( l'ordre des coupes est sans importance ) . 



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 #2 - 24-09-2010 19:52:18

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Gâtteau 34

pas moi!
je rigole! c'est impossible, on sera obligés de passer par au moins 4 triangles alors qu'il y a trois hauteurs!


Un promath- actif dans un forum actif

 #3 - 25-09-2010 09:42:12

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Gââteau 34

J'invite ton pâtissier à inventer un problème plus facilement réalisable. Théoriquement, il est bien sur possible de découper le gâteau en parts suffisamment petites pour les avoir de tailles différentes.

Pratiquement, c'est bien difficile à réaliser même en entrant dans le guinness book des grands gâteaux ! Car il faut couper petit. En bref le gâteau est coupé initialement en 4 triangles disons de taille 1. La découpe de cette part suivant la hauteur donne deux plus petits triangles de taille 1/5 et 4/5. Si l'on note que 1/5 de 4/5, c'est la même chose que 4/5 de 1/5...

Je n'effectue pas le calcul pour déterminer qu'elle serait le nombre de parts totales et la plus petite part... mais c'est vraiment vraiment petit

EDIT 26.09.2010
Je savais bien que j'allais m'en tirer si facilement...

EDIT 29.09.2010
Il ne reste sans doute que quelques minutes...
Le gateau est decoupe en triangle de 1/5 et 4/5 et tout les sous-multiples moins certains (j'y reviendrai). Si le plus grand des triangles a pour aire 1 unité, l'ensemble de ces triangles peuvent couvrir une aire égale à
[TeX](1+1/5+1/25+...+1/5^n)(1+4/5+16/25+64/125+...+(4/5)^n)
=\frac{1}{1-1/5}\time\frac{1}{1-4/5}=25/4=6.25[/TeX]
Cependant seules les 4 premières puissances (4/5)^n sont présentes ce qui donnent:
6.25 - (1+4/5+16/25+...+(4/5)^n) + 1 +4/5+16/25+64/125 =
6.25 - 5 + 1+ .8 + .64 + .512 = 4.202 > 4 donc toujours possibles
cependant seules les x premières puissances de la forme [latex]\frac{4^{k-1}}{5^k}[/latex] sont présentes, ce qui réduit encore la surface qui peut etre couvertes, etc jusqu'a surface max < 4

Ouais, peut mieux faire hmm

4.202 + 4/25+16/125+64/625+256/


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 26-09-2010 18:39:59

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Gâeau 34

ma reponse n'est pas bonne? roll
Spoiler : [Afficher le message] Comme il y a 4 triangles     [spoiler]  et seulement 3 hauteurs     [/spoiler]

et si on construit que des rectangles en plus, il ne nous resqte q'1 hauteur!


Un promath- actif dans un forum actif

 #5 - 26-09-2010 18:54:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtau 34

Non , promath ta réponse est bonne , le partage est impossible , mais pas la justification sad

Regarde l'llustration de mon premier post smile

Vasimolo

 #6 - 27-09-2010 17:51:01

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

âGteau 34

Dans chacun des 4 triangles, on peut choisir successivement les hauteurs quon dessine et les triangles quon coupe. Au debut il n' y a qu'une hauteur, puis 2 puis 4 puis 8 etc.

Si on a decoupé des parts et qu'il en reste disons [latex]n\geq 4[/latex] de meme taille, alors il faut decouper encore au moins [latex]n-1>3[/latex] enfants (triangles), dont il faut encore découper derriere les [latex]n-2\geq 2[/latex] petits enfants (triangles). Mais les petits enfants triangles, par "symmetrie" de part et d'autre de la hauteur precedente, sont au moins [latex]2 (n-2) \geq4[/latex]... Donc on ne peut pas y échapper.

 #7 - 27-09-2010 17:58:05

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3058
Lieu: Au sud du Nord

Gâteau 4

à part avoir un ribambelle de triangles semblables je ne le vois pas avoir autre chose, de plus le départ symétrique ne l'avantage pas.


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #8 - 28-09-2010 14:27:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

hâteau 34

Bonne réponse de McFlambi qui avait répondu hier sans utiliser l'indice 2 ( je n'avais pas compris sa solution ) .

Bravo à lui et courage aux autres !!!

Vasimolo

 #9 - 28-09-2010 16:25:11

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Gâteaau 34

Alors en utilisant les (i,j)...

On doit en couper 3, donc on cree 3 les triangles (1,0), et 3 triangles (0,1). Parmi ceux ci on doit couper 2 d'entre eux au moins, donc on cree 2 triangles (2,0), 2 triangles (1,1), 2 triangles (1,1), et 2 triangles (0,2)... Autrement dit 4 triangles (1,1), ce qui fait qu'on ne s'arretera jamais.

 #10 - 29-09-2010 19:26:42

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

GGâteau 34

Pour la solution , j'aimerais revenir sur celle de McFlambi ( la première ) .

Comme j'avais mal compris sa proposition je lui ai demandé des explications par MP et il m'a fait parvenir une figure qui ressemblait à ça :

http://img690.imageshack.us/img690/8184/solutionvr.jpg

Les quatre premiers triangles sont les triangles initiaux donc au moins trois d'entre eux doivent être coupés ( il ne doit pas rester deux triangles identiques ) . Les coupes sont représentées par les segments verts . On fait alors apparaître deux fois trois triangles identiques qu'il faut couper par au moins deux segments rouges et deux segments bleus . On a alors tracé quatre triangles parmi ceux qui sont pointés en noir et on recommence à l'infini le raisonnement initial .

Je préfère mille fois cette idée à celle des couples (i,j) et comme McFlambi ne l'a pas donnée sur le forum , je me permets de le faire .

J'espère qu'il ne m'en voudra pas smile

Merci à ceux qui ont participé .

Vasimolo

 #11 - 29-09-2010 19:32:57

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Gâetau 34

J'ai posté ma solution sur le fil, elle est plus compliquée et incomplète ! tongue


The proof of the pudding is in the eating.

 #12 - 29-09-2010 19:38:26

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

Gâteau 3

Je ne savais pas que tu travaillais encore dessus sad

J'ai écourté un peu le temps de réponse car je ne pourais pas me connecter ce soir smile

Sorry

Vasimolo

 #13 - 29-09-2010 19:50:05

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Gâeau 34

Y'a pas de problème Vasimolo, je n'ai pratiquement plus le temps de venir sur le site de toutes les façons. vivement la prochaine énigme...


The proof of the pudding is in the eating.
 

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