Il y a 54 faces visibles sur le grand cube, pour 162 faces en tout (27 dés, 6 faces par dé), soit pile le triple. Si c'est possible, ça rentre juste.

Quelques grattages de papier plus tard : bah ouais, ça rentre. En écrivant entre parenthèses, pour chaque dé ou type de dé du troisième cube (tout blanc), le nombre de faces peintes lors de la peinture du premier cube, puis lors de la peinture du deuxième cube, sous la forme (x+y) :

Le dé central a été dé d'angle les deux fois précédentes (3+3), chacun des six centres de faces a été une fois dé d'angle et une fois dé de milieu d'arête (3+2), six des 12 dés de milieu d'arête ont déjà été à la même place les deux fois précédentes (2+2), les six autres ont été une fois sur un angle et une fois en centre de face (3+1), six des 8 dés d'angle ont été une fois en centre d'arête et une fois en centre de face (2+1), les deux qui restent ont été une fois en angle et une fois au centre du cube (3+0).

Bonjour,
Au premier coup de peinture, les petits cubes situés aux huit sommets du grand cube auront trois faces rouges. Si à la reconstruction, l'un (ou plusieurs) de ces huit petits cubes se retrouvent de nouveau sur un sommet avec une orientation toute blanche, alors au second coup de peinture ce (ou ces) petits cubes auront six faces rouges et il sera alors impossible (sauf si ce petit cube unique rouge se retrouve à l'intérieur) de reconstruire un grand cube blanc.
Bonne journée.

La réponse est oui, si à la 2eme repeinture on prend soin de choisir quelles sont les faces que l'on positionnent dans quels emplacement précis.

Voici une solution:
3 représente les 3 faces peintes dans un coin (et il y a 8 coins)
2 représente les 2 faces peintes sur un bord (et il y a 12 bords)
1 représente la face peinte dans le milieu d'une face (et il y a 6 centres de face)
0 représente le petit cube au centre du grand cube. (et il y a 1 seul milieu)

De gauche à droite sont les 3 arangements de cubes:

3 - 2 - 1
3 - 2 - 1
3 - 2 - 1
3 - 2 - 1
3 - 2 - 1
3 - 2 - 1
2 - 2 - 2
2 - 2 - 2
2 - 2 - 2
2 - 2 - 2
2 - 2 - 2
2 - 2 - 2
2 - 1 - 3
2 - 1 - 3
2 - 1 - 3
2 - 1 - 3
2 - 1 - 3
2 - 1 - 3
1 - 3 - 2
1 - 3 - 2
1 - 3 - 2
1 - 3 - 2
1 - 3 - 2
1 - 3 - 2
0 - 3 - 3
3 - 0 - 3
3 - 3 - 0
horizontalement la somme de tous les chiffres fait 6, donc toutes les faces de chaque cube peuvent etre peintes en 3 arangements.

Notez egalement:
- que 27 cubes * 6 faces font exactement 162 faces a peindre.
- que le grand cube a 9*6 soit 54 faces exposées, 3 fois de suite, soit 162 faces également.
- que pour la sequence 2 - 2 - 2, il faut egalement prendre soin de laisser les 2 dernieres faces non peintes de maniere a ce quelle se touchent (ne pas peindre 4 faces en couronne autour du sube) sinon on ne pourrais pas ré-arranger le cube pour l'étape finale.

Que des bonnes réponses

On peut aussi reformuler le problème de la façon plus distrayante :

Les faces de 27 cubes sont astucieusement colorées en rouge , vert ou bleu . Peut-on envisager trois assemblages de ces cubes ne laissant apparaître que des faces rouges , que des faces vertes , que des faces bleues ?

Vasimolo

@Nodgim : cherche un peu plus

Ah ben oui si on oublie le dé central....
-8 emplacements de sommet S
-12 emplacements de milieu d'arête A
-6 emplacements de milieu de face F
-1 emplacement central C

On peut réaliser 9 boucles indépendantes de 3 emplacements.

6 boucles S--->F---->A
                <----------

1 boucle  S---->C---->S
                <------------

2 boucles A---->A---->A
                <------------

Et on a bien fait tourner tous les dés. La somme des faces peintes de chaque dé est exactement de 6 après 3 séquences de coloriage.

C'était une question très originale, bravo au concepteur.

Je n'ai pas tout compris Promath

Vasimolo

Hello,
Cool que ça soit possible avec l'age quand j'ai la flemme de chercher je demande aux fougueux matheux qui ont eu ici d'ailleurs le courage de faire de beau tableau. Merci à eux.
On remarque d'ailleurs que dans un cube nxnxn on a 6 n^2 petites faces visibles, et 6 n^3 petites faces au total, donc ça laisse la place théorique à n couleurs peut être que c'est toujours possible quelque soit n. Mystère

Je serais même tenté de dire qu'on peut le faire n fois pour un cube de dimension n

1 : 1 fois
2  : 2 fois
3 : 3 fois
4 : 4 fois ?

je parlais de la dimension du cube 4x4x4= 64

Gwen, peut être avec la manière dont j'ai traité le problème, par le biais de boucles, ça serait possible de trouver une preuve formelle.
Cube de coté n----> boucles de longueur n.

@Nodgim

J'ai bien lu tes explications mais je n'arrive pas à comprendre ton idée : c'est sûrement de ma faute

Vasimolo

Bon , j'ai compris le principe et c'est plutôt très malin:)

Je reformule pour voir si on est d'accord !

Il y a trois types de chaînes , toutes de longueur [latex]n[/latex] .

Type S :SSII...II : 4 chaînes en tout .
Type A :AAAII...II : 4(n-2) chaînes en tout .
Type F :FFFFFFII...II : (n-2)² chaînes en tout .

On retrouve bien les [latex]n^3[/latex] petits cubes .

Maintenant comment faire tourner les cubes dans les chaînes pour laisser apparaître les [latex]n[/latex] couleurs .

Initialement on voit 2 , 3 ou 6 cubes de chaque chaîne ( les autres sont à l'intérieur du grand cube ) . On peint toutes les faces visibles dans la première couleur et on fait apparaître les couleurs suivantes ?

Couleur 2 : on fait tourner tous les cubes apparent et on peint .
Couleur 3 : on fait tourner tous les cubes de type A et F , on avance de 2 rangs dans les chaînes de type S et on peint .
Couleur 4 : on fait tourner tous les cubes de type F et S , on avance de 3 rangs dans les chaînes de type A ...
Couleur 5 : on fait tourner tous les cubes de type F et A , on avance de 2 rangs dans les chaînes de type S ...
Couleur 6 : on fait tourner tous les cubes apparent ...
Couleur 7 : on avance de 2 , 3 ou 6 rangs dans les chaînes de type S , A ou F ...

et ainsi de suite .

On voit que les boucles ne se referment correctement que si [latex]n[/latex] est un multiple de 6 .

Y-a-t-il moyen de modifier le modèle pour le faire coller aux autres cas ?

Vasimolo