Bon, allez, je vais oser m'attaquer à un de tes problèmes Vasimolo...

Je vais chercher, je te poste mes résultats dès que j'en ai (si j'en ai)

Le premier joueur J1 possède une stratégie gagnante en procédant de la sorte :

Il joue son premier coup n'importe où, puis après un coup de J2 :

Stratégie gagnante de J1 :

-si J2 joue sur une case perdante (j'appelle case perdante une case qui donne immédiatement la victoire à l'autre joueur au coup suivant) : conclure.

-si J2 joue sur une case dont la ligne et la colonne sont vides (coup de type 1) : Jouer sur une case similaire.

-si J2 joue sur une case dont la ligne(resp. colonne) a déjà été jouée (coup de type 2): Jouer sur la même ligne(resp. colonne) que J2, dans une colonne(resp. ligne) vierge.

Un exemple de début de partie sur un échiquier 7x7 :

*00**00
*00**00
**7****
**6****
**3****
*2***00
1**4500

Les cases perdantes sont en *, les non perdantes en 0

Pour expliquer pourquoi ça marche :

Quitte à réarranger les lignes/colonnes lors des coups de type 1, on peut former une diagonale avec les coups de type 1. Ceci définit le carré interdit (sur l'exemple, le carré 3x3 des coups 1,2,3). A l'opposé de ce carré, il y a le carré vierge (sur l'exemple le carré 4x4 où aucun coup n'a été joué), là où seront joués les prochains coups de type 1. Sur les côtés, il y a 2 rectangles où seront joués les coups de type 2 : Le rectangle des lignes (sur l'exemple le rectangle 4x3 des coups 4,5) où J1 joue sur la même ligne que J2, et le rectangle des colonnes (sur l'exemple le rectangle 3x4 des coups 6,7) où J1 joue sur la même colonne que J2.

Toutes les cases du carré interdit sont perdantes. Dans le rectangle des lignes(resp colonnes), les cases jouées définissent des colonnes(resp lignes) entières de cases perdantes, y compris en dehors du rectangle. Par exemple le coup 4 définit deux colonnes de cases perdantes : celle du coup 4 et celle du coup 1. Toutes les autres cases sont non perdantes.

On vérifie par récurrence que :

*Après un coup de J1 :

le carré interdit est de côté impair, le rectangle des lignes a un nombre pair de colonnes vierges, le rectangle des colonnes a un nombre pair de lignes vierges.

*Après un coup de J2 :

-si c'est un coup de type 1 : le carré interdit est de côté pair, le rectangle des lignes a un nombre impair de colonnes vierges, le rectangle des colonnes a un nombre impair de lignes vierges. Ceci assure que J1 pourra rétorquer un coup de type 1, car il reste au moins une case non perdante dans le carré vierge.

-si c'est un coup de type 2 : le carré interdit est de côté impair. Si J2 a joué dans le rectangle des lignes, celui-ci a un nombre impair de colonnes vierges. Ceci assure qu'il reste au moins 1 colonne vierge dans le rectangle des lignes, et donc que J1 pourra rétorquer un coup non perdant dans le rectangle des lignes. Idem pour le rectangle des colonnes.

Oui c'est assez facile.
Si on fait le décompte de l'occupation des lignes et des colonnes à chaque pose de jeton, donc à (11,11) au départ, le 1er qui joue s'arrangera pour renvoyer toujours un couple de pairs à l'adversaire.
(11,11) --->(10,10) après jeton de A.
Si B joue (10,9), donc son jeton aligné avec le 1er,  on répondra (10,8) donc aligné aussi.
Si B joue (9,9) A répondra par (8,8)
Etc...

J'ai du mal à expliquer, mais je dirais qu'il faut jouer "comme l'adversaire" :

Si il se place sur une ligne et colonne vierge, alors il faut faire pareil, et de même si il ne se met que sur une ligne vierge mais une colonne occupé, ou inversement.

Les coups possibles pour le joueur 2 .

1°) Il joue sur une ligne et une colonne jamais utilisée .
2°) Il joue sur une ligne déjà utilisée mais pas la colonne
3°) Il joue sur une colonne déjà utilisée mais pas la ligne .
4°) Il joue sur une ligne et une colonne déjà utilisée .

Réponses du joueur 1 :

1°) Il fait exactement pareil .
2°) Il joue sur la même ligne sur une colonne jamais utilisée .
3°) Il joue sur la même colonne et sur une ligne jamais utilisée .
4°) Il fait exactement pareil et gagne .

On voit bien comment fonctionne la parité sur les lignes et les colonnes .

Vasimolo

Tu remarqueras que le joueur 1 ne prend jamais l'initiative de jouer sur une ligne et une colonne déjà jouées or pour gagner il faut que deux joueurs exactement l'aient fait .

Vasimolo

Tu ne respectes pas la stratégie du joueur 1 , il ne doit pas jouer le coup 3 .

Vasimolo

Bon j'ai voulu aller trop vite mais il est clair que l'argument de parité suffit pour conclure , je vais essayer de détailler un peu plus .

J1 joue n'importe où puis :

1°) J2 joue sur la même ligne ou la même colonne que J1 alors toute case de ces colonnes ou lignes ( attention à l'inversion ) deviennent inutilisables sous peine de défaite immédiate on peut donc retirer ces colonnes ou lignes du jeu .

2°) J2 joue sur une nouvelle ligne et une nouvelle colonne alors J1 fait de même .

Il est clair que J1 ne peut pas perdre avec cette stratégie alors J2 va devoir jouer sur une case interdite .

Vasimolo

En fait c'est les deux , je corrige !

Vasimolo

En effet

L'idée est assez intuitive mais la justification un peu laborieuse !

Vasimolo

Quel argument de parité ?

Qu'est-ce que tu affirmes au juste ?

La question initiale est "Quelle est la stratégie gagnante ?". Quelle stratégie proposes-tu, clairement et de façon complète ?

Oui, tu aurais dû ajouter ça.
Mais pas que.
Là tu donnes le deuxième coup de A.
Mais qu'en est-il de suivants ?
Quelle stratégie proposes-tu, clairement et de façon complète ?