On s'en sort avec un peu de pythagore:



Au départ on a:
d^2 = l^2 - h^2
A l'arrivée:
D^2 = (l-1)^2 - h^2

Donc, en zappant quelques courts développements:
d^2 - D^2 = 2l - 1
d - D = (2l - 1) / (d + D)
On veut savoir si:
(2l - 1) / (d + D) > 1
donc si:
2l - 1 > d +D
l + l - 1> d + D
Or:
l > d
l-1 > D
donc on a bien : (2l - 1) / (d + D) > 1
donc d - D > 1
Le bateau a avancé de plus d'un mètre.

Je crois que je me serais fait avoir.

je dirais plus d'un metre 
Pour justifier je dirais que c'est Pythagore qui me l'a dit. Mais peut-on lui faire confiance ?

Bonnes réponses de tout le monde jusqu'à maintenant (plus ou moins détaillées).

@gwen: je suppose que tu voulais dire: "plus grand côté" et non "hypoténuse" puisque le triangle que tu considères n'est pas rectangle, c'est bien ça?

@nobodydy: Vu que tu ne l'appliques pas sur le sol mais dans l'air, Pythagore fonctionne...

Ma réponse est la même que celle de gwen et ne comprend aucun calcul. C'est du genre de Haha...

Si h est la hauteur du quai au dessus de l'eau et x la longueur de la corde, les distances d1 et d2 entre quai et bateau dans les 2 configurations sont:
d1²=x²-h² (car x>h).
d2²=(x-1)²-h²
d2²=d1²+1-2x
d2²-d1²=1-2x
(d1-d2)(d1+d2)=2x-1
d1-d2=(2x-1)/(d1+d2)
Or x>d1
et x-1>d2
donc 2x-1>d1+d2.
d1-d2>1
Le déplacement du bateau est supérieur au raccourcissement de la corde.

Si on note 'a' la longueur de la corde après avoir tiré et x le déplacement du point d'attache de la barque à la corde, alors l'inégalité triangulaire donne 1+a < x+a
où 1+a est la longueur de la corde avant d'avoir tiré et x et 'a' les longueurs des deux autres cotés du triangle.
Donc la barque a avancé de plus d'un mètre.

Rien à rajouter, ma solution utilise aussi l'inégalité triangulaire:


x+d>x+1 donc d>1

Il est amusant de noter qu'en tirant un mètre de corde, le bateau avance de plus d'un mètre. C'est même un peu contre-intuitif. J'aime bien ces énigmes qui nous surprennent...