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 #26 - 07-02-2012 17:16:29

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

eL paradoxe de la droite verticale

D'autre part, il est totalement illégitime et interdit d'utiliser les opérations définies pour les réels sur l'infini. Cela a mené dans le passé à toute sorte de confusion, d'erreurs du genre listé ici et c'est pour cela qu'a été inventée l'analyse non-standard.
Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard

En particulier:
L'analyse non standard permet en outre de manipuler les concepts nouveaux de nombre infiniment petit ou d'infiniment grand qui ont posé tant de problèmes aux mathématiciens et qui avaient été bannis de l'analyse. Elle est donc plus générale que l'analyse classique, de même que l'analyse complexe est plus générale que l'analyse réelle.

#0 Pub

 #27 - 07-02-2012 17:29:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Le paradoxe de la driote verticale

Tout à fait d'accord, rivas.
Ce problème posé en est un nouvel exemple frappant. Je dois dire que, perso, et bien que j'ai appris il y a longtemps à éviter ces manips, le simple fait de présenter le symbole oo comme un nombre à part entière m'a conduit à un beau non sens.
x=0 c'est de fait x=0
x=y/a avec a à l'infini c'est autre chose. Et oo/oo ça peut être n'importe quoi. 
La droite pivotante autour de (0,0) qui a pour x la valeur 1 et pour y la valeur de la pente "a" (y=a pour tout y) se redresse à la verticale à l'infini. Mais son x , de par la définition, reste à 1. ça fait tout de même un drôle d'effet.

 #28 - 07-02-2012 18:41:00

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Le paradoxe de la drooite verticale

Au vu de ta dernière réponse, je pense qu'il reste quelques points de désaccord. smile

"x=y/a avec a à l'infini" ne peut rien dire pour moi. 'a' ne peut être à l'infini. Cela peut-être n'importe quelle valeur sauf 0, aussi grande que l'on veut mais rien d'autre.  Il y a donc toujours une droite passant par (1,a) et cette droite n'est pas confondue avec l'axe des ordonnées.
"oo/oo" est un dessin qui n'a aucune signification mathématique, de façon similaire à [latex]\sqrt{-1}[/latex] ou [latex]\sqrt{i}[/latex] ou encore à 0/0. On peut développer une théorie qui donne un sens à ces idées mais on ne peut pas utiliser directement ces dessins rigoureusement (analyse non standard).
Une droite ne peut se redresser "à l'infini". D'ailleurs une droite ne se redresse pas, ni ne varie. Une droite c'est une droite. Et si on considère une infinité de droites, on est en danger smile

Sans aller jusqu'à utiliser l'analyse non-standard, on a inventé toute la formalisation des limites pour gérer de façon rigoureuse et satisfaisante ces idées.
On peut éventuellement parle de droite limite du faisceau de droites y=ax avec a tendant vers l'infini après avoir montré qu'une telle limite existe (ce qui dans le cas de droites en moins simple qu'avec des nombres). Dans ce cas, on pourra dire: ce faisceau de droites admet pour limite l'axe des ordonnées.

MAIS ATTENTION: la limite du faisceau de droite n'entraine pas du tout que la limite de la formule de chaque droite du faisceau soit la limite des formules des droites. C'est similaire aux différents théorèmes d'inversion des limites qui demandent des conditions draconiennes.

C'est similaire aux "sophismes" classiques sur les limites, du genre: quelle est la limite de:
-1 +1 -1 +1 -1 +1, ...
suivant la façon dont on groupe les termes.
La aussi les opérations usuelles (et leurs propriétés: commutativité, ...) sur des nombres finis de nombres ne peuvent s'appliquer sur des nombres infinis de nombres.

C'est aussi comme ça qu'on montre que pi=2 avec un demi-cercle...

Je suis d'accord que l'effet de l'utilisation de l'infini peut produire une drôle d'effet sur l'intuition. smile

 #29 - 07-02-2012 20:20:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
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LLe paradoxe de la droite verticale

Je suis entièrement d'accord avec ce que tu as écrit.

 #30 - 08-02-2012 00:11:03

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

le paradpxe de la droite verticale

Je me rends. Nous sommes donc d'accord smile

 #31 - 10-02-2012 18:16:51

papyjac
Habitué de Prise2Tete
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Le paradoxe de la droie verticale

Il y a des courants de pensées néo-relativistes qui défrisent aux limites... heureusement personne n'est allé vérifié, ou ceux qui y sont allé, ne sont pas encore revenus !

 #32 - 10-02-2012 18:26:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Le paradoxe de la droite verticaale

Tiens ? Puisque le sujet passionne...

1=0.x est une erreur manifeste, et pourtant...
Si 1= longueur d'un segment
0= longueur d'un point
x= nombre de points
On dit qu'on peut remplir un segment avec des points.

Je sais, je sais, j'ai un grave problème personnel avec ces notions....

 #33 - 10-02-2012 18:49:33

Vasimolo
Le pâtissier
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Le paradoxe de laa droite verticale

[latex]0\times \infty = 1[/latex] n'est pas une aberration .

Vasimolo

 #34 - 10-02-2012 18:53:27

papyjac
Habitué de Prise2Tete
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le parafoxe de la droite verticale

nodgim a écrit:

Tiens ? Puisque le sujet passionne...

1=0.x est une erreur manifeste, et pourtant...
Si 1= longueur d'un segment
0= longueur d'un point
x= nombre de points
On dit qu'on peut remplir un segment avec des points.

Je sais, je sais, j'ai un grave problème personnel avec ces notions....

Oui, c'est combien ta résolution en pixels ?

papyjac

 #35 - 10-02-2012 19:08:36

shadock
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me paradoxe de la droite verticale

Vasimolo a écrit:

[latex]0\times \infty = 1[/latex] n'est pas une aberration .

Vasimolo

A oui et pourquoi? Si j'écris ca dans une de mes copies mon prof me découpe en petits morceaux hmm


A oui et puis @nodgim comment peut tu te permettre de dire 1=0*x , ce n'est même pas une fonction. Dire que y=0*x ca marche mais on ne peux pas dire que y=1 puisque dans ce cas il n'y pas de valeur réelle qui puisse l'atteindre sinon c'est un calcul de limite et une limite c'est une valeur vers laquelle on tend et non une valeur exacte.

Shadock yikes


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #36 - 10-02-2012 19:33:37

nodgim
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Le paradoxe de la droite verticalle

A Vasimomo:
0*oo=0+0+0+0... à l'infini
Par récurrence:0+0=0 la somme des 2 1ers termes est nulle.
S(2 premiers termes + 3ème)=0+0=0
S(S(1àn termes) + (n+1)ème terme)=0+0=0
Au final: 0

 #37 - 10-02-2012 19:39:27

L00ping007
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Lieu: Paris

L paradoxe de la droite verticale

Aucune contradiction : tu viens de montrer par récurrence que quelque soit n, n*0=0.
Mais tu ne peux simplement pas passer à l'infini sans faire intervenir la notion de limite wink

 #38 - 10-02-2012 19:52:23

nodgim
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L eparadoxe de la droite verticale

C'est vrai que 1/oo=0
Zut, ma tentative de déstabilisation fait pchittt...

 #39 - 10-02-2012 23:44:11

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Le paradoxee de la droite verticale

nodgim a écrit:

Tiens ? Puisque le sujet passionne...

1=0.x est une erreur manifeste, et pourtant...
Si 1= longueur d'un segment
0= longueur d'un point
x= nombre de points
On dit qu'on peut remplir un segment avec des points.

Je sais, je sais, j'ai un grave problème personnel avec ces notions....

Dans ce cas x n'est pas un "nombre". Cf n'importe quelle définition de "nombre"...

 #40 - 10-02-2012 23:45:23

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

le paradoxe de la drpite verticale

Vasimolo a écrit:

[latex]0\times \infty = 1[/latex] n'est pas une aberration .

Vasimolo

Ce n'est pas une aberration, c'est pire... un non-sens smile

 #41 - 11-02-2012 00:53:39

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le paradoxe de la droite vertcale

Je me plaçais dans l'esprit de Nodgim , et prenais l'égalité dans un sens hors normes usuelles smile

Vasimolo

 #42 - 11-02-2012 01:02:32

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
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Le paradoxe de la ddroite verticale

Salut à tous et à toutes,

En général les situations s'éclairent d'elles même lorsqu'on travaille avec des éléments non confus. Si on définit l'infini comme étant le nombre d'entiers naturels ou si on définit l'infini comme étant le nombres de réels compris entre 0 et 1 (ou d'une façon équivalente comme le nombre de points pour remplir un segment) alors on définit deux choses profondément différentes. Pourtant les deux idées donnent une idée de l'infini incontestable.
La notion de l'infini est sans aucun doute très subtile, et je ne pense pas avoir une définition correcte. Je pense qu'il pourrait être amusant que nous partagions nos définitions de l'infini. D'où mes questions :

quelle est votre définition personnelle de l'infini ? Cette définition permet-elle de donner des éléments de réponse à la question: [latex]0\times\infty[/latex] a-t-elle un sens ?  et si oui alors combien cela vaut-il ?

 #43 - 11-02-2012 16:36:37

rivas
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

Le paradoxe ed la droite verticale

Cette question n'a pas non plus de sens pour moi smile En effet, il n'y a pas pour moi de sens mathématique unique à "l'infini". Il y a plusieurs définitions (précises) toutes valides à utiliser chacune dans le contexte où elle s'applique, plusieurs infinis différents: l'infini dénombrable, la puissance du réel, du continu et pour chaque infini un infini supérieur s'obtenant très simplement en prenant les parties d'un ensemble dont le cardinal est l'infini précédent. Il y a donc un nombre infini d'infinis, etc...

Ma définition hors du champ mathématique est "valeur qui si elle existait serait plus grande que toutes les autres et pour les applications concrètes une valeur assez grande pour atteindre le but du raisonnement que je mène".
En cela ça rejoint la façon dont on l'utilise en physique. Je me souviens de mon prof qui en optique nous disait: l'infini c'est le mur la-bas...

 #44 - 20-02-2012 01:40:50

engine
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 351

le paradoxe de la droote verticale

euh dire y = oo * x ca n'quivaut pas à dire y = x / 0 (je pose juste la question, je n'y connais rien dans ce genre de curiosité)


plouf

 #45 - 20-02-2012 18:26:19

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Le paradoxe de l adroite verticale

Salut !

Pour moi, l'infini est l'inverse de 0. Du moins c'est comme ça que je le dis à mes élèves lorsqu'ils calculent les limites. Ça leur permet de n'avoir qu'une forme indéterminée à retenir : oo*0 !

en effet oo/oo et 0/0 se ramènent alors toutes les deux à oo*0 !

Cela dit, oo*0 n'a malgré tout aucun sens et reste une forme indéterminée, qui peut valoir tout et n'importe quoi selon les cas.

 #46 - 20-02-2012 19:23:38

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

Le paradoxe de la driote verticale

roll Ouimaizalors ...

si [latex]0[/latex] et [latex]\infty[/latex] sont inverses alors [latex]0\times\infty = 1[/latex] non ? c'est pas ça la définition de la notion d'inverse ?big_smile


Ne me fusillez pas de  commentaires algébriques ou topologiques, c'était juste pour la provoc ! lol

 #47 - 20-02-2012 22:12:49

Azdod
Expert de Prise2Tete
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Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Le aradoxe de la droite verticale

l'infini n'a pas les même particularités des autres nombres. Seules les limites nous permettent d'utiliser cette notion et là on parle dans un autre contexte !
Ici on considère l'infini comme un nombre grand "inimaginable" et on cherche son produit par 0 qui est l'élément neutre des nombres réels. Donc forcément le résultat sera 0 big_smilebig_smile !


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #48 - 20-02-2012 22:25:07

shadock
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3311

le paradoxe dz la droite verticale

Azdod a écrit:

L'infini n'a pas les même particularités des autres nombres.

L'infini n'en est pas un.
Mais bon a force de logorrhée sur le sujet on fini par dire des bêtises.
Et c'est pourquoi je n'aime pas la fin de ton message.Parce que quand on utilise les limite c'est qu'on tend vers un nombre sans jamais l'atteindre, mais lorsque qu'on tend vers l'infini on est plus un nombre on peut donc prendre n'importe quel grand nombre A dans R on aura toujours A+1 dans R et on sera encore bien loin de l'infini, même si j'avais, jadis, il y a bien longtemps écris sur ce site un raisonnement à faire finir l'infini tongue

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #49 - 22-02-2012 18:59:34

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Le paradoxe de la droite veticale

La réponse à la question est dans cette vidéo, Regardez à partir de 21:30


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #50 - 22-02-2012 19:22:46

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

le paradoxe de la droite vertixale

Georg Cantor, mathématicien allemand, a beaucoup travaillé sur les concepts de l'infini. Ainsi, le nombre d'entiers naturels (infini mais dénombrable) est aleph0, qui serait alors le "plus petit des infinis". Si vous regardez sur "notre ami" avec les termes souslignés, vous pouvez trouver des informations intéressantes sur le sujet.

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