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 #151 - 22-05-2012 10:13:27

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
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diagonale de cantoe

@Rivas:

Pour l'axiome du choix c'est plus subtil, on a aucunement besoin de l'axiome du choix pour exhiber une bijection des entiers vers les entiers premiers. Dire qu'à chaque entier n on associe le n-ieme premier ca construit une bijection de manière explicite.

En fait pour savoir "intuitivement" quand tu as besoin de l'axiome du choix il suffit de te demander si tu peux définir ce que tu choisis, et si tu peux l'axiome du choix est inutile.

Par exemple si tu dois montrer que tu sais construire une fonction qui à toute partie non vide de N associe un entier de cette partie, tu peux dire: "oui facile, j'associe à toute partie de N son plus petit élément". -> ca ressemble à un choix, ca en est un d'ailleurs, mais ca n'a pas besoin de l'axiome du choix car on exhibe explicitement comment on choisit. Alors que pourtant on a choisit un élément pour un ensemble infini d'ensembles dont certains sont de taille infinie.

Mais si tu veux exhiber une fonction qui à toute partie de R associe un réel de cette partie tu n'arriveras jamais à en définir un pour chaque partie, la tu auras besoin de l'axiome du choix qui t'assure que c'est possible mais sans te dire lequel. Tu ne peux pas construire tu peux choisir.  C'est subtil et frustrant.

C'est pour ceci que l'axiome du choix est bien moins naturel qu'on imagine, affirmant l'existence de choses que par définition on ne pourra pas exhiber/construire/définir, et il implique pas mal de résultats contre intuitifs.

#0 Pub

 #152 - 22-05-2012 11:58:48

rivas
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Diagonae de Cantor

Clydevil a écrit:

Pour l'axiome du choix c'est plus subtil, on a aucunement besoin de l'axiome du choix pour exhiber une bijection des entiers vers les entiers premiers. Dire qu'à chaque entier n on associe le n-ieme premier ca construit une bijection de manière explicite.

C'est plus compliqué que ça smile

Il n'est possible de parler de "n-ieme premier" que parce que la théorie des ensemble que nous utilisons inclut l'axiome de choix (AC). smile et ce parce que les entiers et les premiers sont en nombres infinis, même si nous n'en sommes pas pleinement conscient (encore notre intuition).

On s'en sert de façon détournée, par l'intermédiaire d'un énoncé équivalent. Sans lui, la dénombrabilité n'est pas aussi simple que ce dont l'on parle depuis le début de ce thread.

De façon plus précise dans le cas dont on parle, on peut utiliser la "propriété de bon ordre" des entiers naturels pour choisir à chaque étape de la construction le plus petit des premiers restants à choisir.
Cependant, faire cela, c'est utiliser l'AC de façon masquée.
En effet, on utilise, comme M. Jourdain, sans le savoir, le Théorème de Zermelo pour justifier l'existence de cette relation d'ordre sur N et cet énoncé est équivalent à l'AC. On utilise donc, si ce n'est l'AC directement, un axiome équivalent, mais il en faut bien un.

La théorie usuelle utilisée est ZFC soit ZF + AC. Sans AC, donc simplement ZF,  il est possible de construire un ensemble non-dénombrable comme union dénombrables d'ensemble de 2 éléments (Russel puis Paul Cohen 1962), car il manque justement la possibilité de faire un choix pour construire la bijection.

D'autre part, l'AC permet de valider qu'il est légitime de choisir un élément, même si on sait lequel choisir, dans un ensemble infini et que le choix de celui-là ne rend pas invalide la démonstration, surtout si le choix est effectué une infinité de fois dans la construction.

Attention à l'infini: est-il légitime de faire un choix parmi une infinité d'objet? Peut-on être sûr d'avoir examiné tous les objets pour être sûr que notre choix répond bien aux critères? Le choix d'un élément dans un ensemble infini pose des problèmes de logique. Mais notre intuition (encore elle) ne nous permet pas toujours de voir simplement pourquoi le choix pourrait poser un problème.

Voir: http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix

Je rappelle que durant la crise des fondements, certains mathématiciens travaillant sur ces sujets sont devenus fous ou se sont suicidés... tellement ils sont logiquement ardus. Ames sensibles s'abstenir smile

 #153 - 22-05-2012 12:10:04

rivas
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Diagonale de Canto

Clydevil a écrit:

Mais si tu veux exhiber une fonction qui à toute partie de R associe un réel de cette partie tu n'arriveras jamais à en définir un pour chaque partie, la tu auras besoin de l'axiome du choix qui t'assure que c'est possible mais sans te dire lequel. Tu ne peux pas construire tu peux choisir.  C'est subtil et frustrant.

Je réponds dans un post séparé pour ne pas faire trop long et bien séparer 2 sujets. Merci de ne pas m'accabler pour des posts consécutifs smile

Il faut distinguer la possibilité d'écrire une "formule" ou une méthode de construction donnant l'élément qu'on choisit et le fait d'avoir besoin de l'axiome du choix. On a toujours besoin de l'AC pour justifier la légitimité du choix, que l'on puisse donner une formule ou pas.
Dans le cas des parties de R, il n'y a pas de difficulté à donner une méthode de choix:
Pour une partie de R que j'appelle X:
Je considère un des intervalles I de X. Il peut y en avoir plusieurs, j'en choisis un. Ils peuvent être ouverts, fermés (voire réduit à un point), semi-ouverts, peu importe, ...
Je choisis ensuite comme nombre x=(inf(I)+sup(I))/2. (inf: borne inférieure, possiblement pas dans I si I est semi-ouvert à gauche, sup: borne supérieure). Il est évident que x appartient à X puisque X est un intervalle.

Voila j'ai bien constuit une méthode qui à chaque partie de R associe un de ses points. Mais pourtant j'ai eu besoin de l'AC.

Ce que je veux dire c'est que l'AC ne remplace pas le fait qu'il existe une méthode explicite. Il permet de valider la méthode, explicite ou non.

 #154 - 22-05-2012 14:01:30

Clydevil
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Diagonale de Cantro

Avec le debut je ne sais pas si je suis d'accord, ca me choque mais la reponse est de qualite alors je vais me plonger dedans pour savoir smile ca le merite largement.

Avec ceci par contre je sais que je ne suis pas d'accord:

Dans le cas des parties de R, il n'y a pas de difficulté à donner une méthode de choix:
Pour une partie de R que j'appelle X:
Je considère un des intervalles I de X. Il peut y en avoir plusieurs, j'en choisis un. Ils peuvent être ouverts, fermés (voire réduit à un point), semi-ouverts, peu importe, ...
Je choisis ensuite comme nombre x=(inf(I)+sup(I))/2. (inf: borne inférieure, possiblement pas dans I si I est semi-ouvert à gauche, sup: borne supérieure). Il est évident que x appartient à X puisque X est un intervalle.
Voila j'ai bien constuit une méthode qui à chaque partie de R associe un de ses points. Mais pourtant j'ai eu besoin de l'AC.

Dans l'hypothèse ou ce que tu fais ici est censé montrer le même genre de choses que ce que j'ai dit avec N:
NON ici tu n'as pas construit ce que tu dis pour deux raisons:
-"Je considère un des intervalles I de X. Il peut y en avoir plusieurs, j'en choisis un."
La tu choisis un intervalle sans le designer, donc c'est pas un bon départ pour une construction explicite, ca ne définira forcement pas le x sélectionné au final.
-"Je considère un des intervalles I de X"
Il n'y a pas forcement d'intervalle dans X, X peut parfaitement être "les nombres irrationnels"

Pour le reste en vrac reactions à chaud (faut que je bosse un peu quand meme mais ce soir je ferais une reponse plus construite):

Il n'est possible de parler de "n-ieme premier" que parce que la théorie des ensemble que nous utilisons inclut l'axiome de choix (AC).

La théorie des ensembles qu'on utilise c'est généralement ZFC oui elle inclut l'axiome du choix mais je ne suis pas d'accord avec la première partie de la phrase qui elle est vraie dans l'arithmétique de Peano seule.

Cependant, faire cela, c'est utiliser l'AC de façon masquée.
En effet, on utilise, comme M. Jourdain, sans le savoir, le Théorème de Zermelo pour justifier l'existence de cette relation d'ordre sur N et cet énoncé est équivalent à l'AC.

Le théorème de Zermelo est équivalent à l'axiome du choix oui, mais ce n'est pas parce qu'on peut l'utiliser qu'on en a besoin.  Ce théorème est égal à AC justement parce qu'il est générique pour tout ensemble, le bon ordre sur N (pas relation d'ordre) en particulier par contre n'en a pas besoin.

à suivre...

 #155 - 22-05-2012 14:42:05

rivas
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diagonale de cantot

Dans l'hypothèse ou ce que tu fais ici est censé montrer le même genre de choses que ce que j'ai dit avec N:
NON ici tu n'as pas construit ce que tu dis pour deux raisons:
-"Je considère un des intervalles I de X. Il peut y en avoir plusieurs, j'en choisis un."
La tu choisis un intervalle sans le designer, donc c'est pas un bon départ pour une construction explicite, ca ne définira forcement pas le x sélectionné au final.

Je vois la difficulté que tu soulèves dans l'objectif que je m'étais fixé d'expliciter une telle bijection. J'explicite comment la construire mais je n'explicite pas la bijection elle-même quelque soit l'ensemble que l'on choisisse.

Ceci dit, cela ne change pas le fondement du raisonnement. En effet mon point est d'expliquer que l'AC est toujours nécessaire, que la construction soit explicite ou pas. L'AC est nécessaire puisque l'on fait un choix, même explicite.

Finalement, cet exemple n'est pas si mal, puisqu'il montre une construction qui nécessite l'AC dans le cas ou l'ensemble est par exemple les rationnels (ou les irrationnels).

-"Je considère un des intervalles I de X"
Il n'y a pas forcement d'intervalle dans X, X peut parfaitement être "les nombres irrationnels"

Pour chaque nombre irrationnel y on peut considerer l'intervalle fermé d'un seul point [y,y]. Et d'ailleurs d'un seul point car il n'y a jamais 2 nombres irrationnels consécutifs (Q est dense dans R).

 #156 - 22-05-2012 15:08:23

rivas
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Diagoale de Cantor

Clydevil a écrit:

Le théorème de Zermelo est équivalent à l'axiome du choix oui, mais ce n'est pas parce qu'on peut l'utiliser qu'on en a besoin.  Ce théorème est égal à AC justement parce qu'il est générique pour tout ensemble, le bon ordre sur N (pas relation d'ordre) en particulier par contre n'en a pas besoin.
à suivre...

La question n'est pas qu'on puisse l'utiliser ou pas. On l'utilise tout simplement pour ordonner les entiers. On n'a pas le choix.

On est tellement habitué à l'ordre des entiers naturels et à les manipuler pour compter des objets que la définition de ceux-ci en tant qu'objet mathématique (suivant le modèle que l'on choisit) nous échappe un peu (encore notre intuition).

Qu'appelle-t-on 0? Qu'appelle-t-on 1? Qu'appelle-t-on 1000? (je ne les fais pas tous smile).

Comment ordonne-t-on l'infinité de nombres entiers?
Comment décide-t-on que 0 est le premier, ou plutôt avant 1?
Comment décide-t-on que 1 est avant 2, ...?
Comment justifie-t-on que si 1 est avant 2, il est avant tous les autres? Est-ce légitime?
La fonction "successeur" utilisée dans la définition des entiers représente le moment où on utilise l'axiome du choix.

On peut d'ailleurs définir bien d'autres relations d'ordre sur N. Comme par exemple celle que j'ai déjà donné en exemple: tous les impairs sont plus petits que tous les pairs et pour comparer 2 pairs ou 2 impairs entre eux, on utilise l'ordre naturel (ou pour s'amuser le contraire de l'ordre naturel). Quel est le rang de 0 avec cet ordre? Ce n'est pas "l'ordre naturel" mais c'est un ordre.

En répondant à ces questions, en considérant tous les entiers (leur infinité), on fait appel sans le vouloir (sans le savoir?) à l'AC.

Pour définir un ordre dans un ensemble E infini, on choisit d'abord le premier élement e0 (utilisation de l'AC) puis on choisit dans E-{e0} le second élement (utilisation de l'AC), ... Cela définit la fonction successeur. La description de la construction peut parfois être énoncée dans l'autre sens, mais cela revient au même.

Le choix que nous avons fait pour les entiers est donc 0, 1, 2, 3, ...
Mais comme je l'ai dit plus haut, on aurait tout aussi bien pu choisir: 1, 3, 5, 7, ..., 0, 2, 4, 6, ...

Le fait que l'on utilise ce qui nous semble naturel en considérant les entiers comme les cardinaux d'ensemble et en les ordonnant par ordre d'inclusion ne change pas le fait qu'on utilise sans le voir l'AC parce que cela nous est "trop naturel" pour y réfléchir en profondeur.
Mais pourquoi le cardinal d'un ensemble à 2 éléments doit-il arriver après le cardinal d'un ensemble à 1 élément? C'est un choix. On pourrait en faire un autre.

Faut-il créer un forum philosophique ? smile

 #157 - 22-05-2012 15:13:32

Clydevil
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fiagonale de cantor

Je vois la difficulté que tu soulèves dans l'objectif que je m'étais fixé d'expliciter une telle bijection. J'explicite comment la construire mais je n'explicite pas la bijection elle-même quelque soit l'ensemble que l'on choisisse. Finalement, cet exemple n'est pas si mal, puisqu'il montre une construction qui nécessite l'AC dans le cas ou l'ensemble est par exemple les rationnels (ou les irrationnels).

Ça je suis parfaitement d'accord puisque cet exemple avec R est justement celui qui j'opposais avec N ou je postulait qu'AC était nécessaire dans le premier mais pas dans le second.   (On peut ne pas être d'accord avec ma dernière affirmation mais dans le cas R on était initialement d'accord)

Ceci dit, cela ne change pas le fondement du raisonnement. En effet mon point est d'expliquer que l'AC est toujours nécessaire, que la construction soit explicite ou pas. L'AC est nécessaire puisque l'on fait un choix, même explicite.

Et c'est bien sur ce point qu'on est pas d'accord, je me replongerais dedans ce soir mais il y a bien deux aspects dans le thème
-"faire simultanément une infinite d'action"
-"pouvoir choisir sans definir"
Et je pense que quand on a un aspect ou l'autre on a besoin de l'axiome du choix.
La ou je suis encore flou et ou ce soir il me faudra me replonger c'est à propos de "infinité" sur le premier aspect, je ne suis pas sur que ca soit systématique.

En tout cas, l'existence de bon ordre sur N est bien déduite des axiomes de peano, sans axiome du choix donc. http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano
Chercher "ensemble bien ordonné" dans la page

Et avec le post précèdent (arrivé pendant que j'écrivais celui ci) je ne suis pas d'accord pour la construction des entiers.  C'est l'arithmétique de Peano il n'y a pas d'axiome du choix dedans même caché.

J'ai pas pu m'empecher de chercher sur mon 2eme ecran, ca reduit ma productivite tout cela tongue
"The Peano axioms can be derived from set theoretic constructions of the natural numbers and axioms of set theory such as the ZF.[9] 
Sur la page eng de peano axioms  de wiki.
Bon évidemment ca implique de faire confiance dans le fait que l'auteur n'a pas oublié le C.  mais il me semble naturelle de dire que ZFC est une extension de ZF qui est une extension de Peano.

 #158 - 22-05-2012 16:06:42

rivas
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Diagonale d eCantor

Je pense que l'on arrive à la limite de ce qui peut-être discuté ici smile

Je recommande aussi:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles

On y lit en particulier en rapport avec le sujet:

L'axiome du choix est apparu explicitement dans une publication de Ernst Zermelo de 1904, c'est-à-dire avant la parution de son axiomatisation de la théorie des ensembles. L'axiome du choix est en effet d'une nature différente des autres axiomes de la théories des ensembles énoncés ultérieurement, et qui résultent pour la plupart d'une analyse soignée de la compréhension non restreinte. En effet l'axiome du choix ne donne pas de définition explicite de l'ensemble construit (ensemble de choix ou fonction de choix suivant les versions). D'autre part, dans son article de 1904, Zermelo démontre avec l'axiome du choix son fameux théorème qui énonce que tout ensemble peut être bien ordonné, proposition qui n'a rien d'intuitivement évident, ne serait-ce que pour l'ensemble des réels. L'axiome du choix était utilisé tacitement au moins par Georg Cantor, mais la publication de Zermelo déclenche des débats passionnés chez les mathématiciens de l'époque[2].

L'axiome du choix est par ailleurs très lié à l'infini mathématique, en effet l'axiome du choix est intuitivement vrai pour un nombre fini de choix, et d'ailleurs tout à fait démontrable dans ce cas à partir des autres axiomes de la théorie des ensembles.

Bonne lecture à tous.

 #159 - 22-05-2012 16:20:28

Clydevil
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Diaggonale de Cantor

Oui on va troller sinon, je vais PM juste pour savoir avec quoi on est d'accord ou pas d'accord vu que je ne suis pas sur que l'un comme l'autre on ait changé d'avis sur quelque point que ce soit ^^.

PM sent et j'ai encore oublié de cocher la case pour garder le message grr...

 #160 - 22-05-2012 18:51:00

nodgim
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diagonale de canyor

Si vous voulez le détail de la discussion tant décriée:
http://www.forum.math.ulg.ac.be/viewthr … p;id=55496

 #161 - 22-05-2012 18:55:55

nodgim
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diagonale se cantor

Clydevil a écrit:

C'est le principe de l'hôtel avec un nombre infini de chambres, toutes numérotées:
Cet hôtel prestigieux est complet, seulement un VIP arrive, que faire?

Comment l'hôtelier peut il dire que l'hôtel est complet ?

 #162 - 23-05-2012 22:37:15

Vegetox
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Messages : 46
Lieu: Rouen

Diagonale de Cator

Et bien, je pense que si la durée pour parcourir la distance accueil-chambre n°x, en omettant la durée dans l’ascenseur pour arrivée à l'étage souhaité, est supérieure à l'espérance de vie humaine, on peut considérer l’hôtel comme plein. big_smile

 #163 - 24-05-2012 18:28:56

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

diaginale de cantor

Ma remarque était là surtout pour faire toucher du doigt à quel point la présentation du problème est boiteuse dès la 1ère phrase. Le plus étonnant est que cette histoire est passée dans la postérité. On se demande bien pourquoi...

 #164 - 27-05-2012 06:58:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

diagpnale de cantor

Déclarer que 0.00...01 vaut exactement 0 n'est il pas en contradiction avec le caractère strictement croissant de la fonction logarithme ?

 #165 - 27-05-2012 08:28:09

Memento
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 176

Diagonale de Canotr

Que vient faire le logarithme ?

 #166 - 27-05-2012 10:44:30

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

diaginale de cantor

Memento a écrit:

Que vient faire le logarithme ?

C'est dimanche et il fait beau, il se promène, il peut oui ??? mad lol

Par contre, toujours aussi radin, le logarithme ne paie rien...


...pour attendre. roll hmm yikes big_smile


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #167 - 27-05-2012 11:06:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Diagonale de Cnator

SHTF47 voit juste, il fait beau.
C'est à dire que comme la fonction log est strictement croissante, et comme elle représente la surface sous la courbe 1/x, alors il semble assez normal de considérer que 1/x ne vaut jamais exactement 0 quand x tend vers l'infini. Ce qui contredirait la thèse selon laquelle 0.00..01 vaut exactement 0.

 #168 - 27-05-2012 12:47:04

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

doagonale de cantor

Il est encore ouvert, ce topic ? Bah m**de, que fait la police ? lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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