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 #26 - 01-06-2012 19:00:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

pile je gzgne et face tu perds

J'ai revu mes calculs et n'ai pas trouvé d'erreur, aussi ça vient peut être des équations que j'ai posées au départ....
Soit Fa= proportion de faces dans la pile d'Alice, avec donc pile Pa=1-Fa.
Fb et Pb pour Bob.
Espérances de A (Alice) et B (Bob)
A=5FaPb+5FbPa
B=FaFb+9PaPb.

Et les sommes totales encaissées par A et B sont A+B (c'est l'un ou l'autre qui gagne pas les 2).

Y a peut être une subtilité qui m'a échappé..

#0 Pub

 #27 - 01-06-2012 19:09:47

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 820
Lieu: Seahaven island

pile je gagne et facz tu perds

@nodgim: Quand un joueur "gagne" quelque chose c'est l'autre qui lui donne (et donc le perd)

 #28 - 01-06-2012 19:17:29

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

Pile je ggne et face tu perds

petite erreur de calcul, réponse modifiée smile

 #29 - 01-06-2012 20:20:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

oile je gagne et face tu perds

Juste ! A raisonnement boiteux, résultat incertain...
Toutefois (chance !) avec 1/4 c'est dans la fourchette gagnante...

Espérance d'Aline A
A=6Pa+6Pb-20PaPb-1=Pb(6-20Pa)+6Pa-1
Il faut A>0 quel que soit Pb
La fonction est une droite qu'on peut stabliser quand Pa=3/10
Dans ce cas, A=4/5.

Sinon, dans la fourchette 1/6<Pa<5/14, A>0 pour 0<Pb<1.

Aline doit mettre dans sa pile de pièces 3/10 de "pile" au dessus si elle veut maximiser ses chances de gagner.

 #30 - 02-06-2012 16:51:12

pierreM
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 49

pile je gzgne et face tu perds

On dit que Alice joue pile avec une proba p, et Bob une proba q

gain de Alice = 5*(p(1-q)+(1-p)q)( ==> si elle gagne) - 9pq-(1-p)(1-q) (==> si elle perd)
= 5p-5pq+5q-5pq-9pq-1+p+q-pq
= -1 + 6p+6q -20pq
On cherche à maximiser ca par rapport à p (elle n'a pas d'influence sur q)
dérivée = 6-20q : indépendant de p!
==> si q>0.3, elle jouera p=0, si q<0.3, p=1, si q=0.3, indifférent

Si q=0.3, on obtient une indifférence par rapport à ce que Alice joue, mettons qu'elle joue p=0
gain de Alice = -1+6*0.3 = 0.8
Pour vérifier, si elle joue p=1:
-1+6+6*0.3-20*0.3 = 0.8

Alice gagne en moyenne! Pour ce faire, on peut calculer sa stratégie:

On minimise son gain par rapport à q
gain de A= -1 + 6p+6q -20pq
dérivée par rapport à q= 6-20p
Cette fois on minimise, donc si p>0.3, q=1, etc...

En clair l'équilibre de Nash, c'est 0.3, 0.3 et Alice gagne 0.8

(j'espère ne pas avoir fait de faute de calcul... )

 #31 - 06-06-2012 16:39:58

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 820
Lieu: Seahaven island

Pile je gagn eet face tu perds

Merci à tous les participants! et bravo à ceux qui ont correctement répondu!

Solutions:
Spoiler : [Afficher le message]
Voir post#14 de ThomasLRG
Rq: On peut faire le même type de calcul pour Bob, qui lui aussi dispose d'une proportion qui donne une espérance indépendante de ce que l'autre joueur fait. Ça donnera toujours 0.8e par partie en faveur d'Alice mais ca ne laisse pas la possibilité d'avoir pire.

 

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