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 #1 - 09-04-2010 00:07:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâetau 2

Un problème de partage de tarte pour faire plaisir à certains wink

On découpe à la hâte une tarte circulaire en traçant des cordes formant des angles de 60° à partir d'un point P choisi au hasard sur la tarte .

http://img245.imageshack.us/img245/5576/gteau2.jpg

Alors deux enfants se partagent la tarte en prenant alternativement une part sur deux ( un enfant prendra les parts rouges et l'autre le reste ) . Le partage est-il toujours équitable ? Si non lequel en mangera le plus ?

On doit pouvoir éviter les calculs monstrueux , merci d'avance big_smile

Vasimolo



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 #2 - 09-04-2010 17:39:07

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

gâtzau 2

http://www.prise2tete.fr/upload/schaff60-GATEAU3.JPG

Le partage initial partant du point P est représenté en vert et bleu.

On construit passant par le centre O une parallèle au côté BC du premier partage, cette parallèle coupe en L un autre côté du partage initial. A partir de ce point L on refait le partage en 3 coupes du gâteau, représenté ici en vert et Jaune. Ce nouveau partage est équitable puisque passant par le centre il divise le gâteau en 2 parties égales.

Les parties vertes représentent les parties communes aux 2 partages.

Il suffit donc de comparer les parties ABCD et EFGH pour savoir si les 2 partages sont équivalents, ces 2 parties ont la même hauteur par construction, la partie bleue passant par le centre a donc une surface supérieure à la partie jaune, donc supérieure à la moitié du gâteau.

Le partage n'est pas équitable et celui qui a les parts contenant le centre du cercle (ici les parties en bleues et jaunes) a plus de gâteau que l'autre.


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #3 - 09-04-2010 22:09:27

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Gâteauu 2

Si une des coupes passe par le centre du cercle elle constituera un axe de symétrie de la figure et chaque mangeur aura la même quantité de tarte.

Si une des coupes est tangente au cercle et le point d'intersection sur le bord, la tarte est coupée en 3 parts seulement et celui qui choisit la part intermédiaire est clairement avantagé.

J'ai du mal à prouver quelque chose pour les autres cas...

 #4 - 10-04-2010 13:38:51

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3305

Gâteauu 2

Sans faire de calcul j'ai envie de dire oui! mais sans aucune conviction!
Mon cousin ma fait un peu de calcul intégrale pour se faire plaisir mais la réponse n'a pas de sens!!! il s'est planté et honêtement et bas moi je dis Wouao si schaff60 et loozer ont trouvé la réponse! yikes   O_O !


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 10-04-2010 18:43:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteauu 2

Indice :

Spoiler : [Afficher le message] Pour le moment seul schaff60 a la réponse complète , ce qui est un bel exploit sans aide smile

Le cas ou une coupe passe par le centre est aussi évoqué par looozer , la réponse est assez rapide :

http://img121.imageshack.us/img121/1156/indice1f.jpg

Dans le cas contraire , tracer la parallèle à l'une des coupes passant par le centre de la tarte et observer les morceaux wink

Je donnerai un 2ème indice si besoin ...


Vasimolo

 #6 - 10-04-2010 22:15:27

cruchot
Visiteur

Gâtteau 2

Oui, les parts seront toujours identique car trois part avec un angle de 60° font 180° donc la moitié

 #7 - 11-04-2010 23:47:47

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3305

Gteau 2

yikesyikes  disons que mon cerveau est à satturation! 2958.3265847% si sa passe par le centre la réponse est évidente oui mais sinon! ?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 11-04-2010 23:58:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 22

Indice 2 smile

Une fois compris ce qui se passe quand une coupe passe au centre :

Spoiler : [Afficher le message]

Observer les parties communes et celles qui diffèrent dans les parts bleues et rouges . Il n'y a rien à tracer , seulement observer , les petits triangles par exemple sont équilatéraux smile

http://img11.imageshack.us/img11/8697/indice2bis.jpg


J'ajoute un peu de temps .

Vasimolo

 #9 - 12-04-2010 00:30:29

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

gâreau 2

Ben je suis tombé sur le théorème de la pizza en cherchant dans les propriétés du cercle qui pourraient me servir.

Je ne vais donc pas faire semblant d'avoir trouvé (et franchement, je serais passé à côté). Même en voyant la solution, c'est pas du gâteau...

 #10 - 12-04-2010 12:23:11

rivas
Elite de Prise2Tete
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Gâtea u2

Si une des coupes passe par le centre, le problème est symétrique par rapport à cette coupe. Donc à chaque morceau correspond un morceau symétrique et les 2 distributions sont égales (encore plus simple à voir si le point d'intersection  des coupes est le centre :-)).
Ayant vu ça et vu comment le problème est posé, on conjecture que les distributions sont toujours égales mais cela choque mon intuition (en particulier lorsque le point se rapproche du bord et à la limite sur le bord).
Le 2eme indice montre que faire glisser une coupe parallelement jusqu'à ce qu'elle passe par le centre ne change pas les surface de chaque distribution car la "bande" DCBA-un petit triangle à la même surface que EHGF - un petit triangle de meme surface aussi et que donc les surfaces sont égales.

Au début ce problème me faisait penser a la loi des aires de Kepler et j'essayais de voir si on pouvait trouver qqc dans ce sens mais en vain.

 #11 - 12-04-2010 13:05:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gtâeau 2

En refusant de laisser apparaître les positions exactes des points O et O' mon deuxième indice générait plus de confusion que d'aide . J'ai corrigé smile

Vasimolo

 #12 - 12-04-2010 23:45:42

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâetau 2

Une seule bonne réponse yikes

Je vous laisse lire celle de schaff60 smile

Sinon pour utiliser les deux indices précédents , la différence entre les parts rouges et bleues est représentée sur les dessins ci-dessous :

http://img696.imageshack.us/img696/5084/indice3.jpg

Les petits triangles étant équilatéraux les deux bandes ont la même largeur et la plus grande est donc celle qui passe par le centre c'est à dire la rouge . Or les parts bleues représente la moitié de la tarte donc les rouges ont plus de la moitié .

Pour conclure celui qui a récupéré le centre de la tarte a aussi hérité des plus grosses parts .

Je vous accorde que le problème n'était pas facile et encore bravo à schaff60 cool

Le prochain problème sera plus simple roll

Vasimolo

 #13 - 13-04-2010 00:08:19

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

Gâetau 2

Tres bonne enigme. Je m'en veux de m'etre laissé entrainer dans l'erreur. :-)

 #14 - 13-04-2010 09:20:37

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Gâteu 2

Ouah. Encore un problème comme je les aime : ils ne m'inspirent rien quand je les cherche, et quand je lis une réponse je me dis "...ah ouais... c'était plutôt simple si on avait la bonne idée... mais elle vient d'où, cette p****n d'idée ?!" lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #15 - 13-04-2010 09:38:07

looozer
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Belgique

Gâtau 2

Merci de nous avoir fait découvrir ce problème sympa.
J'attends Gateau3 avec impatience smile

 #16 - 13-04-2010 13:50:19

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3305

Gâteau 22

La solution n'était vraiment pas évidente! Mais c'est une énigme après tout!!! smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 06-05-2012 13:05:31

PAINter
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 14

hâteau 2

Purée! Pourquoi je n'aipas eu des problemes comme ca à résoudre en Secondaire!!! C'est super intéressent! smile

 

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