Je ne suis pas vraiment d'accord.

1---2468---3579

le premier prend la part 1

Si le second prend la part 2 , le premier prend  la 3

Mais qu'est-ce qui empêche le deuxième de prendre alors la part 9 ? La seule chose certaine est que le premier joueur va tirer deux parts consécutives au moins. Il peut juste être certain en respectant la parité du second joueur qu'il n'y aura que 2 parts consécutives dans les siennes et que ce ne seront pas (2 et 3) (4 et 5) (6 et 7) ou (8 et 9)

La démonstration de cogito pêche d'entrée. Le découpeur n'est nullement obligé de choisir ses parts espacées comme dans sa règle iv).

Non, mais le joueur qui choisit peut le forcer à respecter la règle iv), ça fait partie de sa stratégie.

Mais cependant vous avez raison, mon théorème 3 est faux , je viens de trouver
un contre exemple avec un gâteau à neuf parts.
(Par exemple les ensembles (1 3 5 7), (1 4 6 8), et (2 4 7 9))

Et dans ce contre exemple pour que le joueur qui choisit gagne il faut qu'il fasse en sorte que la règle iv) ne soit pas respecter. En fait ma stratégie fonctionne pour les découpage jusqu'à 7 parts.
J'ai essayé de généraliser trop vite désolé .

"Il y a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement" 

Le "choisisseur" peut toujours alterner les parts sauf que rien ne dit que la position qu'il obtiendra sera gagnante comme le laissait entendre ce théorème 3 .

Vasimolo

Ce n'est pas mon idée , c'était celle de Cogito

Le premier joueur joue où il veut puis le découpeur prend une part à gauche ou à droite de celle-ci , il suffit alors que le premier joueur fasse pareil pour toujours laisser l'unique choix au découpeur de choisir une part voisine de l'une des parts qu'il a choisi . Il y aura alors alternance des parts sauf pour deux parts voisines laissées au "choisisseur" .

Mais je ne crois pas que cette stratégie soit toujours gagnante .

Vasimolo

ok j'ai compris merci.

Après réflexion, il faut quand même considérer les cas favorables qui respectent
la condition iv).

Appelons JC le joueur qui choisit et JD le joueur qui découpe.

  a) Si tous les cas favorables on des parts consecutives alors JC gagne en adoptant la stratégie suivante : quand JD prend la part i, JC prend la part i+1
(ou quand il JD prend la part i+1 , JC prend la part i).
 
  b) Donc JD doit trouver des cas favorables qui ne contiennent pas de parts consécutives  (i.e. qui respecte la condition iv)). Ces cas favorables doivent être
d'intersection vide, car sinon JC prend la première part dans cette intersection,
et ensuite il applique la stratégie indiquer dans a).


Ce que j'essayai d'expliquer sur les ensembles d'indices qui vérifient la condition iv), c'est qu'il sont tous de la forme  un nombre, une "case vide", un nombre,
une case vide, ... sauf à un endroit où l'on a deux case vide.

Par exemple :

1 _ 3 _ 5 _ _ 8 _ 10 _ 12

autrement dit on a :

  -soit une suite de nombre impairs consécutifs (1 3 5 ds l'exemple) suivit d'une suite de nombre pairs consécutifs (8 10 12 ds l'exemple).
  *(c'est ce que j'essayai d'exprimer par (1 I I I P P P 2k)

  -soit l'inverse (par exemple _ 2 _ 4 _ 6 _ 8 _ _ 11 _ 13)

  -soit que des nombres pairs ou que des nombre impair

  -c) Si toutes les solutions vérifient la condition iv) alors JC a une stratégie gagnante.

Quitte a renuméroter les parts, on peut toujours supposer que les parts d'indices
  pairs est un cas favorable.

Spoiler : [Afficher le message]
Par exemple si (1 3 5 8 10) est un cas favorable,  alors on renumérote
les part à partir de la part 7, donc 7 devient la part 1, 8 la part 2, ..., et donc
après cette renumérotation (2 4 6 8 10) est un cas favorables).


Donc d'après le théorème 2 tous les ensembles d'indices impairs sont des cas défavorables.

Donc les seuls formes qui restent pour les autres cas favorables sont
2 P P P ... I I I 2k+1
1 I I I ... P P P 2k
   
On peut toujours trouver des cas favorables de cette forme d'intersections vide pour 4 <= k. Par exemple les solutions
   2 4 6 8 10
   2 4 5 7 9
   1 3 5 8 10
sont d'intersection vide.

Le cas (1 4 6 8 ... 2k) ne peut pas être favorable, car il est d'intersection vide
avec tous les cas favorables de la forme (2 P P P ... I I I 2k+1),
ce qui n'est pas possibles à cause du théorème 2.

Donc si on récapitule la liste des cas favorable, nous avons :

2 4   ...           2k
2 P P P ... I I I 2k+1
1 3 I I ... P P P 2k

Donc si JC prend la part d'indice 2 :
    -Il empêche tous les cas favorables qui commence par 2.
    -Et il me laisse le choix entre la part 1 et la part 3, JD ne peut
     donc pas prendre la part 1 et 3 à la fois, il n'a donc aucune chance de gagner.

***********************
Cependant dans la stratégie ci-dessus, si JD a une solution favorable contenant
les parts consécutives 3 et 4, alors en prenant la part 3 si JC prend la part 1
pour empêcher la solution (1 3 ....) alors je peut prendre la part 4.
Seulement cette solution de secours n'est valable que pour la numérotation
que l'on a choisit, JD doit donc trouver des solutions alternatives pour toutes
les numérotations possibles des cas favorables respectant la règle iv)

Maintenant il reste à déterminer deux cas que je n'arrive pas à départager :

1) Le nombre de solution que doit trouver JD est plus grand que le nombre maximum de cas favorables et dans ce cas là JC gagne.

2) Le nombre de solution que doit trouver JD est un nombre n qui ne dépend pas
de k, est alors si  il découpe le gâteau en un nombre de part assez grand pour
qu'il soit possible d'avoir n cas favorables et alors JD peut gagner.

Edit: JD peut aussi gagner si le nombre de solution qu'il doit trouver est plus
petit que le maximum de cas favorables.

Donc pour gagner, JD doit trouver au moins trois cas favorables qui vérifient iv)
et des cas favorables avec des parts consécutives.

Si je peux me permettre un petit mouvement d'humeur

C'est le type même de problème qui m’intéresse à priori mais que j'ai vite laissé tomber sans regret . Pour moi le découpeur peut annuler aisément mais il ne peut pas gagner .

On peut entretenir le suspens artificiellement en imposant la parité du nombre de parts , autoriser des parts nulles , quasi nulles , ... , en laissant entendre que ça peut tout changer ...

Si on précise qu'à son ouverture le problème faisait suite à un autre problème à réponses non dévoilées , on ne peut pas dire que ça ne donnait vraiment envie de faire des efforts de recherche .

En bref l'intérêt s'émousse très vite

Pour moi il y a un problème dans la façon dont tu exposes tes énigmes . Si deux énigmes se suivent , on libère la première avant d'ouvrir la seconde  , si on ne connait pas la réponse à une énigme que l'on pose , on ne laisse pas entendre le contraire en changeant régulièrement les règles du jeu en fonction des réponses qui sont faites .

Si tu as une réponse à ton problème tu le dis clairement , sinon tu laisses tomber le masque et tu cherches avec nous

Vasimolo

PS : Pour le solitaire en ligne , il y a aussi une question de Nodgim à laquelle tu n'as pas répondu , faudra-t-il attendre un an ?

fix33 a écrit:

C'est à ce genre de système circulaire que je pensais en lisant ta précédente énigme. A la différence que le point de départ n'est pas imposé ici.

Mais je sèche complètement.

A part te dire qu'en commençant en prenant le 4 de gauche, tu gagnes de façon sûre...

A réfléchir...

Pour le reste , tant mieux pour toi et à l'année prochaine

Vasimolo

Merci Fix

Enfin quelque chose de constructif à lire .

Vasimolo

J'ose espérer que Titou n'avait pas connaissance de ce document sinon je ne vois pas comment on doit interpréter ses derniers messages

Vasimolo

Quel est l'intérêt de relancer un problème vieux d'un an sans apporter un seul élément de réponse ? Il ne s'agit pas d'un problème personnel auquel tu apportes une solution originale mais d'un problème posé et solutionné sur la toile : pourquoi cacher ses sources ? Si tout le monde faisait pareil le forum serait bien triste

Vasimolo

Faut-il féliciter Titou pour avoir relancer le problème ou Fix pour le lien qu'il nous a fourni

J'ai du mal à comprendre l'intérêt d'un échange déséquilibré dans lequel une personne ayant récupéré tout ou partie de la solution , l'utilise uniquement pour distribuer les bons et les mauvais points .

En bref , merci Fix

Vasimolo