rivas, tu es bien parti mais le résultat n'est pas bon.

Tu écris $u_{k+1}={u_k}^{2013}$ mais en fait c'est $u_{k+1}=2013^{u_k}$.

Du coup, ton raisonnement tombe à l'eau.

Souvent j'utiliserais le fait que deux nombres qui sont congrus modulo 10 ont le même chiffre des unités.

Appelons un cycle unité, le cycle des chiffres des unité obtenu en multipliant successivement un nombre par lui même.

Soit n un entier.

Si n se termine par un 0 alors le cycle unité de n est {0}.
Si n se termine par un 1 alors le cycle unité de n est {1}.
Si n se termine par un 2 alors le cycle unité de n est {2,4,8,6}.
Si n se termine par un 3 alors le cycle unité de n est {3,9,7,1}.
Si n se termine par un 4 alors le cycle unité de n est {4,6}.
Si n se termine par un 5 alors le cycle unité de n est {5}.
Si n se termine par un 6 alors le cycle unité de n est {6}.
Si n se termine par un 7 alors le cycle unité de n est {7,9,3,1}.
Si n se termine par un 8 alors le cycle unité de n est {8,4,2,6}.
Si n se termine par un 9 alors le cycle unité de n est {9,1}.

Donc si n se termine par 0, 1, 5 ou 6 alors le chiffre des unités de $u_n$ est respectivement 0,1,5 ou 6.

Si n se termine par 2 alors:
    Le cycle unité nous indique que :
$$2^{4k}\equiv 6 [10]$$
$$2^{4k+1}\equiv 2 [10]$$
$$2^{4k+2}\equiv 4 [10]$$
$$2^{4k+3}\equiv 8 [10]$$
    Donc nous avons deux cas (car comme n se termine par un 2 alors n est pair) :
     -cas 1 : n = 4 * k, et donc $u_1$ se termine par un 6.
     Donc tous les autres éléments de la suite se terminerons par un 6.
     -cas 2 : n = 4 * k + 2, et donc $u_1$ se termine par un 4.
     comme n est pair alors d'après le cycle unité de 4, $u_2$
     se termine par un 6, et donc tous les autres éléments de la suite se terminent par
     un 6.
Ainsi dans tous les cas nous avons $u_n$ qui se termine par un 6.

Si n se termine par un 3 alors:
$$3^{4k}\equiv 1 [10]$$
$$3^{4k+1}\equiv 3 [10]$$
$$3^{4k+2}\equiv 9 [10]$$
$$3^{4k+3}\equiv 7 [10]$$
    Donc nous avons deux cas (car comme n se termine par un 3 alors n est impair) :
     -cas 1 : n = 4 * k + 1, et donc $u_1$ se termine par un 3.
     Donc tous les autres éléments de la suite se terminerons par un 3.
     -cas 2 : n = 4 * k + 3, et donc $u_1$ se termine par un 7.
     comme n est de la forme 4 * k + 3 alors d'après le cycle unité de 7, $u_2$ se termine
     par un 3. En continuant ainsi, on aura les termes pairs de la suite qui se
     terminerons par un 3 et les termes impairs qui se terminerons par un 7 et donc
     comme n est impair, $u_n$ se termine par un 7.

Si n se termine par un 4 alors :
$$4^{2k}\equiv 6 [10]$$
$$4^{2k+1}\equiv 4 [10]$$
    Comme n se termine par un 4 alors n est pair, et donc $u_1$ se termine par un 6, donc
     tous les autres termes de la suite se terminerons par un 6.

Si n se termine par un 7 alors :
$$7^{4k}\equiv 1 [10]$$
$$7^{4k+1}\equiv 7 [10]$$
$$7^{4k+2}\equiv 9 [10]$$
$$7^{4k+3}\equiv 3 [10]$$
    Donc nous avons deux cas (car comme n se termine par un 7 alors n est impair) :
     -cas 1 : n = 4 * k + 1, et donc $u_1$ se termine par un 7.
     Donc tous les autres éléments de la suite se terminerons par un 7.
     -cas 2 : n = 4 * k + 3, et donc $u_1$ se termine par un 3.
     comme n est de la forme 4 * k + 3 alors d'après le cycle unité de 3, $u_2$ se termine
     par un 7. En continuant ainsi, on aura les termes pairs de la suite qui se 
     terminerons par un 7 et les termes impairs qui se terminerons par un 3 et donc
     comme n est impair, $u_n$ se termine par un 3.

Si n se termine par un 8 alors :
$$8^{4k}\equiv 6 [10]$$
$$8^{4k+1}\equiv 8 [10]$$
$$8^{4k+2}\equiv 4 [10]$$
$$8^{4k+3}\equiv 2 [10]$$
    Donc nous avons deux cas (car comme n se termine par un 8 alors n est pair) :
     -cas 1 : n = 4 * k, et donc $u_1$ se termine par un 6.
     Donc tous les autres éléments de la suite se terminerons par un 6.
     -cas 2 : n = 4 * k + 2, et donc $u_1$ se termine par un 4.
     comme n est pair alors d'après le cycle unité de 4, $u_2$
     se termine par un 6, et donc tous les éléments de la suite se terminent par un 6.
Ainsi dans tous les cas nous avons$u_n$ qui se termine par un 6.

Si n se termine par un 9 alors :
$$9^{2k}\equiv 1 [10]$$
$$9^{2k+1}\equiv 9 [10]$$
    Comme n se termine par un 9 alors n est impair, et donc $u_1$ se termine par un 9,
     donc tous les autres termes de la suite se terminerons par un 9.

Donc pour résumé :

Si n se termine par un 0 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 0.
Si n se termine par un 1 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 1.
Si n se termine par un 2 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 6.
Si n se termine par un 3 alors
     -si n = 4k + 1 le chiffre des unités de $u_n$ est 3.
     -si n = 4k + 3 le chiffre des unités de $u_n$ est 7.
Si n se termine par un 4 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 6.
Si n se termine par un 5 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 5.
Si n se termine par un 6 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 6.
Si n se termine par un 7 alors
     -si n = 4k + 1 le chiffre des unités de $u_n$ est 7.
     -si n = 4k + 3 le chiffre des unités de $u_n$ est 3.
Si n se termine par un 8 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 6.
Si n se termine par un 9 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 9.

Dans nôtre cas, 2013 se termine par un 3 et 2013 = 4 * 503 + 1 donc le chiffre des unités de $u_{2013}$ est 3.

Remarque pour tous les n pairs ne se terminant pas par 0, le résultat est 6.

Pffiiooouuu ! il y a sûrement plus élégant


Edit : Arrrgghhh ! je crois que j'ai fait la même erreur que rivas !
"j'y retourne immédiatement."

@Mathias : Oui, bravo ! Pour la généralisation, c'est un bon début.

@cogito : Tu as fait la même erreur que Rivas effectivement.

@kossi_tg : Bravo ! La généralisation n'est pas tellement plus compliquée.

Par récurrence, on trouve 3.
Car3^4 = 81 = 1 modulo 10.
"xxx3"^2013 = 3 modulo 10

Pas le temps d'écrire le raisonnement car pas d'ordinateur à portée de main ni papier ni crayon, juste le sable et les embruns de la mer

Alors je me suis parti du fait que le chiffre des unités de $2013^{2013}$ est le même que celui de $3^{2013}$

Je trouve que $3^{2013}\text{ mod } 10=3^{2013}-10E\left(\frac{3^{2013}}{10}\right)$ qui au fil de l'eau donne 3.
Donc par récurrence ça finit par 3 sauf erreur et pour la généralisation, je pense que $n^n \text{ mod } 10=n^n-10E\left(\frac{n^n}{10}\right)$ et caetera...

Shadock

Bon alors pour les nombres se terminant par 0, 1 , 5 ou 6, cela ne change rien.
Pour les autres cas,

Si n est pair alors on a trois cas :
    -cas 1 : n = 4 k, dans ce cas, $u_{n-1}$ est un multiple de 4.
    -cas 2 : n = 4 k + 2, comme les puissances paires de (4k + 2) sont des multiples de 4 alors $u_{n-1}$ est aussi un multiple de 4. 
    Or on a vu que :
$$2^{4k}\equiv 6 [10]$$
$$4^{4k}\equiv 6 [10]$$
$$8^{4k}\equiv 6 [10]$$
  Donc si dans tous ces cas $u_n$ se termine par un 6.
 
Si n est impair alors on a deux cas :
    -cas 1 : n = 4 k + 1. Toutes les puissances de (4 k + 1) sont de la forme (4 k + 1), donc $u_{n-1}$ est de la forme 4k+1. Et on a vu que :
$$3^{4k+1}\equiv 3 [10]$$
$$7^{4k+1}\equiv 7 [10]$$
$$9^{4k+1}\equiv 9 [10]$$
    Donc si n se termine par 3, 7 ou 9 alors $u_n$ se termine respectivement par 3 7 ou 9.
    -cas 2 : n = 4k+3. Toutes les puissances impaires de 4k + 3 sont de la forme (4k+3), donc $u_{n-1}$ est de la forme 4k+3. Et on a vu que :
$$3^{4k+3}\equiv 7 [10]$$
$$7^{4k+3}\equiv 3 [10]$$
$$9^{4k+3}\equiv 9 [10]$$
    Donc si n se termine par 3, 7 ou 9 alors $u_n$ se termine respectivement par 7 3 ou 9.

Donc finalement :
Si n se termine par un 0 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 0.
Si n se termine par un 1 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 1.
Si n se termine par un 2 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 6.
Si n se termine par un 3 alors
    -si n = 4k + 1 le chiffre des unités de $u_n$ est 3.
    -si n = 4k + 3 le chiffre des unités de $u_n$ est 7.
Si n se termine par un 4 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 6.
Si n se termine par un 5 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 5.
Si n se termine par un 6 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 6.
Si n se termine par un 7 alors
     -si n = 4k + 1 le chiffre des unités de Formule $u_n$ est 7.
     -si n = 4k + 3 le chiffre des unités de Formule $u_n$ est 3.
Si n se termine par un 8 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 6.
Si n se termine par un 9 alors le chiffre des unités de $u_n$ est 9.

Bah, euh... finalement je trouve la même chose.

Et bien c'est très simple :
Je ne détaille que ce dont je me ders parce que sinon c'est trop long à écrire sur le tel,
$3^n =3 \text{ mod }10$ si n=4k+1
Or 2013=4*503+1 d'où le résultat

Pour le reste je me suis effectivement trompé je reviendrai quand j'aurai trouvé.

Shadock

Bonsoir

C'est pas très difficile mais il faut être très attentif et je ne suis sûrement pas à l'abri d'une erreur

Je note $n=2[3]$ pour $n\equiv 2 \text{[mod 3]}$ et f(n) le dernier chiffre de l'écriture décimale de l'escalier de puissance .

Il y a des cas très simples , quand n = 0 ; 1 ; 5 ; 6 [10] car alors toute puissance de n se termine par le même chiffre que n donc f(n)=n[10] .

A peine plus difficile si n=4[10] car alors $n^{2k}=6[10]$ et $n^{2k+1}=4[10]$ donc f(n)=6 .

De même si n=9[10] alors $n^{2k}=1[10]$ et $n^{2k+1}=9[10]$ donc f(n)=9 .

Les quatre cas restants sont un peu pénibles car les puissances bouclent en cycle de 4 il faut donc regarder ce qui se passe modulo 20

Pour alléger l'écriture je donne modulo 20 les listes représentant : $n,n^n,n^{n^n},\cdots$

Si n=2 : 4 ; 16 ; 16 ;16 ; ...
Si n=3 : 3 ; 7 ; 7 ; 7 ; ...
Si n=7 : 7 ; 7 ; 7 ; ...
Si n=8 : 8 ; 16 ; 16 ; 16 ; 16 ; ...
Si n=12 : 12 ; 16 ; 4 ; 16 ; 4 ; 16 ; 4 ; ...
Si n=17 : 17 ; 17 ; 17 ; ...
Si n=18 : 18 ; 4 ; 16 ; 16 ; 16 ; 16 ; ...

Ce qui nous donne :

Si n=2[10] ou n=8[10] : f(n)=6 . ( une exception f(2)=4 ) .
Si n=3[20] ou n=17[20] : f(n)=7 .
Si n=7[20] ou n=13[20] : f(n)=3 .

Vasimolo

Bon, j'ai voulu le résoudre trop vite et j'ai écrit n'importe quoi 2 fois de suite.
Je ne suis pas très fier de moi.

Je vais donc essayer de reprendre à zéro.

2013 est congru à 3 modulo 10.
Les puissances de 3 modulo 10 forment un cycle de longueur 4: 1 - 3 - 9 - 7 - 1


Donc $2013^{2013}$ est congru à $3^1$ modulo 10 (puisque 2013 = 4k+1).

Donc $u_1 \equiv 3 [10]$
$$u_2 = 2013^{u_1} \equiv 3^{u_1} [10]$$
Il faut donc aussi regarder à quoi sont congrus les $u_i$ modulo 4.
Or $2013\equiv 1 [4]$.

Donc $u_2 = 2013^{u_1} \equiv 1^{u_1} [4] \equiv 1 [4]$.

Tous les $u_i$ sont donc congrus à 1 modulo 4.

Finalement $u_2 = 3^{u_1} [10] \equiv 3 [10]$.

Ce qui a été fait avec $u_1$ et $u_2$ peut-être fait de même entre $u_k$ et $u_{k+1}$.

Donc tous les $u_n$ sont congrus à 3 modulo 10.

Le dernier chiffre est donc 3.

J'avais bien eu un doute en écrivant ma réponse précédente.
Celle-ci me semble plus correcte.

Je crois que j'ai trouvé mon erreur : je ne sais pas calculer le reste de 2013 / 4 !
J'ai corrigé (peut-être !) et j'ai complété avec les autres unités possibles.

Peut être un peu plus compliqué, mais à peine, quels sont les 2 derniers chiffres de ton nombre ?