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 #26 - 17-08-2013 10:50:09

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

ouissances à gogo

@nodgim : peut-être bien que oui, peut-être bien que non...

#0 Pub

 #27 - 17-08-2013 14:04:47

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

puissances à hogo

Pour ce que je comprends:
2013^2013^2013...se calcule de droite à gauche.
Le seul membre qui va déterminer la valeur du chiffre unité est le dernier à gauche. Et dans ce 2013, seul le 3 donne la valeur du chiffre unité.
Modulo 10, les puissances successives de 3 sont 3,9,7,1.
3^(quelque chose) est donc dépendant de ce quelque chose modulo 4.
2013^2013^2013....=1 mod 4, car 2013=1 mod 4 et que 1^(entier)=1

Le chiffre final sera donc 3^1=3

 #28 - 18-08-2013 01:55:44

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

puissanceq à gogo

Oui bravo Nodgim

 #29 - 18-08-2013 21:55:51

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Puissnces à gogo

@fix33 : Le raisonnement n'est pas bon.

 #30 - 19-08-2013 12:34:34

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Puissances à gogoo

Vous pouvez à présent admirer la solution proposée par nodgim par exemple.

Pour la généralisation, je vous laisse regarder les solutions données par Cogito ou Vasimolo.

En gros, on constate d'abord à la main que [latex]\forall x \in \mathbb{Z}_{10}[/latex], la suite des [latex]x^k[/latex] est 4-périodique.

On peut alors distinguer 3 cas :

Si [latex]n[/latex] est pair, alors [latex]u_{n-1}[/latex] est un multiple de 4 et donc [latex]u_n \equiv n^4 [10][/latex].

Si [latex]n \equiv 1 [4][/latex], alors [latex]u_{n-1} \equiv 1 [4][/latex] et donc [latex]u_n \equiv n[10][/latex].

Si [latex]n \equiv -1 [4][/latex], alors [latex]u_{n-1} \equiv -1 [4][/latex] et donc [latex]u_n \equiv n^3[10][/latex].

 #31 - 20-08-2013 19:43:50

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

piissances à gogo

Attention quand même aux cas particuliers , le dernier chiffre de l'écriture décimale de 2² n'est pas un 6 smile

Vasimolo

 #32 - 20-08-2013 20:16:10

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

PPuissances à gogo

Oui, mais u_2 est [latex]2^{2^2}[/latex] qui se termine bien par un 6 smile


Il y a sûrement plus simple.

 #33 - 20-08-2013 21:08:40

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Puissancess à gogo

C'est vrai que ça colle à la définition donnée : j'avais intuité [latex]1[/latex] , [latex]2^2[/latex] , [latex]3^{3^3}[/latex] , [latex]4^{4^{4^4}}[/latex] , ...

Vasimolo

 #34 - 22-08-2013 02:13:54

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Puissances à gog

nodgim a écrit:

Peut être un peu plus compliqué, mais à peine, quels sont les 2 derniers chiffres de ton nombre ?

Qui trouve ?

 #35 - 22-08-2013 21:37:12

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Puissancces à gogo

Moi,moi ! je trouve ! tongue

On peut procéder de la même manière, pour un nombre se terminant par 13 on obtient le cycle suivant :

13 69 97 61 93 09 17 21 73 49 37 81 53 89 57 41 33 29 77 01

Comme on sait que le chiffre des unités est 3, cela restreint le choix à :

13 93 73 53 33

Ceci correspond aux deux derniers chiffres d'un nombre de la forme (100a+13)^k
avec respectivement k de la forme :

20k'+1 ; 20k'+5 ; 20k'+9 ; 20k'+13 ; 20k'+17.

Clairement, 2013 est de la forme 20k+13.
On a [latex](20k+13)^{4k}[/latex] qui est de la forme 20K+1.
On a [latex](20k+13)^{4k+1}[/latex] qui est de la forme 20K+13.
On a [latex](20k+13)^{4k+2}[/latex] qui est de la forme 20K+9.
On a [latex](20k+13)^{4k+3}[/latex] qui est de la forme 20K+17.

Comme les puissances d'un nombre de la forme 4k+1 reste de la forme 4k+1, alors [latex]u_{n-2}[/latex] est de la forme 4k+1.

Donc [latex]u_{n-1} = 2013^{u_{n-2}}[/latex] est de la forme 20k+13, et donc [latex]u_n[/latex] se termine par 53.


Il y a sûrement plus simple.

 #36 - 22-08-2013 22:51:57

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Puissances à ggo

Bravo cogito !

Et pour un entier [latex]n[/latex] quelconque ?

 #37 - 23-08-2013 18:42:49

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

puissances à gogp

Oh non, je ne me lance pas là dedans, trop de cas à étudier (et trop fainéant wink )


Il y a sûrement plus simple.
 

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