Je ne comprends pas vraiment. Veux tu dire que, si on considère les angles extérieurs du triangle de petite surface tendant vers zéro, on pourrait avoir une somme maximale de 3 x (360 - 60) = 900° ?

Supposons les arcs du triangle sphérique limités aux sommets [latex]A,B,C[/latex].
Alors ces arcs délimitent 2 triangles sphériques (on autorise donc des triangles sphériques d'angles >[latex]\pi[/latex], ce que l'on ne fait pas dans le plan).

Quand un triangle est petit, la somme de ses angles est voisine de [latex]\pi[/latex].
Donc l'autre triangle a la somme de ses angles voisine de [latex]3[/latex][latex]\times[/latex][latex]2\pi[/latex]-[latex]\pi[/latex]=[latex]5\pi[/latex].

Dans ce cas le maximum (non atteint) de la somme des angles est de [latex]5\pi[/latex].

Il vaut donc mieux définir un triangle sphérique comme l'intersection de 3 hémisphères fermés (c-à-d y compris le grand cercle qui les limite). Dans ce cas le maximum (non atteint) de la somme des angles est de [latex]3\pi[/latex].

Au début je pensais à 540° car je n'imaginais pas qu'un triangle puisse avoir des angles plus grand que 180°.

Sur le plan ce n'est pas possible, on ne peut pas avoir une figure fermée.

Mais sur la shpère on peut obtenir une figure fermée, avec trois côtés, trois sommets et trois angles plus grand que 180° !!

Je vous renvoie au poste de NickoGecko pour suivre les aventures d'Anselme Lanturlu où vous trouverez des éclaircissements sur notre affaire  

Merci, et bravo à tous.

Excellent souvenir du Géométricon ! Merci NickoGecko ! Et Cogito !