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 #26 - 23-04-2014 20:25:11

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2822
Lieu: Luxembourg

GGâteau 76

Suite de ma "solution"

V/pi = (Somme de –R1 à –R1.V2/2) de (R1²-x²).dx + (Somme de 0 à R2.V2/2) de (R2²-x²).dx + (Somme de 0 à R3) de (R3²-x²).dx
=> V/pi = (2/3-5V2/12).R1³+(5V2/12).R2³+(2/3).R3³
Pour ne pas devenir fou, je passe en décimal, avec les coefficients calculés par un tableur:
R1=-0,707.A+1,207.B; R2=1,707.A-1,207.B et R3=0,500.B d’où:
R1³=-0,354.A³+1,811.A²B-3,091.AB²+1,759.B³;
R2³=4,975.A³-10,553.A²B+7,462.AB²-1,759.B³
et R3³=0,125.B³ puis:
V/pi = 2,904.A³-6,078.A²B+4,158.AB²-0,817.B³

40=5x8 => A=4,000cm et B=2,500cm (r=1,600) => V=4261cm³ => P=127,83€
42=6x7 => A=3,333cm et B=2,857cm (r=1,167) => V=1145cm³ => P=  34,36€
45=5x9 => A=4,000cm et B=2,222cm (r=1,800) => V=6066cm³ => P=181,98€
48=6x8 => A=3,333cm et B=2,500cm (r=1,333) => V=1896cm³ => P=  56,88€
49=7x7 => A=2,857cm et B=2,857cm (r=1,000) => V=  598cm³ => P=  17,95€

La disposition 45=5x9 semble donc optimale, mais je ne suis absolument pas sûr de m'être planté, bien au contraire, car les écarts me semblent trop importants.

#0 Pub

 #27 - 23-04-2014 22:54:18

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

gâteay 76

Je ne vois pas où est le problème pour le volume de l'oeuf, il y a trois arcs de cercle, ça se paramètre facilement, il faut paramétrer trois cercles et intégrer que sur la partie de l'arc qu'on veut.

Pour le cercle en cartésien le paramétrage est [latex](x,y)=(cos(t),sin(t))[/latex]

C'est un peu chiant à faire avec les trois arc du coup mais ça se fait (j'ai pas le temps en ce moment, mais on a déjà fait des choses bien plus dure ici !)

Le plus dur serai de paramétrer l'arc dans sa totalité..

Shadock smile

PS : Sinon pour ceux qui veulent de plus amples informations :
CAPES sur l'oeuf très intéressant


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #28 - 23-04-2014 23:49:41

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4911

Gteau 76

D'un autre côté il est un peu facile de dire que c'est évident mais qu'on a pas le temps de faire le travail smile

Le cas de l’œuf "CAPES" est un cas particulier plus simple de l’œuf que j'ai proposé car A et B sont les centres des huitièmes de cercle . D'autre part je n'ai rien compris à la solution proposée pour le volume , la surface A n'est pas un cercle , ce serait bien plus naturel de la positionner à l'horizontale .

Vasimolo

PS : Franky tes calculs sont trop pénibles à lire sans LaTeX , ce qui est sûr c'est qu'il y a des erreurs smile

 #29 - 24-04-2014 05:39:01

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

gâreau 76

cogito a écrit:

Bon et puis pour avoir une solution unique on va dire que en faite 1,33.. c'est pas un bon rapport.

Vasimolo a écrit:

Le bon rapport doit se situer entre 1,3 et 1,5 sinon l’œuf est trop carré ou trop pointu .

lol

Bon, nous sommes donc dans le cas où :
[TeX]m*n = 48; R={5\over 12}\sqrt{2} + {25\over 12}; r = -{5\over 12}\sqrt{2}+{5\over 4}; x=25/12[/TeX]
Le volume de l’œuf peut se décomposer en 3 partie :
  -le volume d'une calotte sphérique.
  -le volume "en dessous" des "huitièmes de cercles"
  -le volume d'une demi-sphère.

**La formule pour la calotte sphérique est :
[TeX]V_c={\pi\over 3}h^2(3r_c-h)[/latex].

    Dans notre cas :

        [latex]r_c = r= -{5\over 12}\sqrt{2}+{5\over 4}[/latex] et

        [latex]h = r(1 - {\sqrt{2}\over 2})[/TeX]
     Ce qui nous donne [latex]V_c\simeq 0,070154\hbox{ cm}^3[/latex]

**Le volume de la demi-sphère est :
[TeX]V_s={2\pi\over 3}R_s^3[/TeX]
        Dans notre cas [latex]R_s=5/4[/latex]

        Ce qui nous donne [latex]V_s\simeq 4,0906154\hbox{ cm}^3[/latex]

**Pour la dernière partie, avec la formule Wolfram me donne un 6,2378.

Ceci ferait un œuf de [latex]0,0702 + 4,0906 + 6,2378\simeq10,3986\hbox{ cm}^3[/latex]

Donc pour 48 œufs on aurait [latex]48*10,3986\simeq 499,1328\hbox{ cm}^3\simeq 0,49913\hbox{ L}[/latex]

Ce qui ferait une commande de [latex]30 * 0,49913\simeq 14,97[/latex]€ soit 15€ en arrondissant.

Voilà, bien sûr tous cela est modulo les erreurs de calculs lol.


Il y a sûrement plus simple.

 #30 - 24-04-2014 09:56:21

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4911

Gâteau 6

Entièrement d'accord pour la demi-boule et la calotte mais je ne trouve pas la même chose pour le morceau généré par le huitième de cercle .

D'un autre côté j'ai tout fait à la main et avec ma casio collège lollol

Contrairement à toi je trouve un peu plus de 15€ . Si tu as raison je vais dire à mon pâtissier ce que je pense de sa façon d'arrondir les prix .

Vasimolo

 #31 - 24-04-2014 12:23:21

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Gâteu 76

Avec une fx-92 ??
trop classe cool

On a le centre du huitième de cercle qui est :
[TeX]C=(x,-(x-r))=({25\over 12},-{5\over 12}\sqrt{2} -{5\over 6})[/latex] et son rayon est [latex]R[/latex].

L'équation du cercle est donc :

[latex](x - 25/12)^2 + (y +{5\over 12}\sqrt{2} +{5\over 6})^2 = R^2[/TeX]
(Ici, [latex]x[/latex] est le [latex]x[/latex] des abscisses (j'ai mal choisis mon nom de variable au départ hmm)

Ce que l'on pourra réécrire :
[TeX](x - 25/12)^2 + (f(x) +{5\over 12}\sqrt{2} +{5\over 6})^2 = ({5\over 12}\sqrt{2} + {25\over 12})^2 = {125\over 72}\sqrt{2}+{75\over16}[/TeX][TeX]\Leftrightarrow (f(x) +{5\over 12}\sqrt{2} +{5\over 6})^2 = {125\over 72}\sqrt{2}+{75\over16} - (x - 25/12)^2[/TeX][TeX]\Leftrightarrow (f(x) +{5\over 12}\sqrt{2} +{5\over 6}) = \sqrt{{125\over 72}\sqrt{2}+{75\over16} - (x - 25/12)^2}[/TeX][TeX]\Leftrightarrow f(x)= \sqrt{{125\over 72}\sqrt{2}+{75\over16} - (x - 25/12)^2}-{5\over 12}\sqrt{2} -{5\over 6}[/TeX][TeX]\Leftrightarrow f^2(x)= \left(\sqrt{{125\over 72}\sqrt{2}+{75\over16} - (x - 25/12)^2}-{5\over 12}\sqrt{2} -{5\over 6}\right)^2[/TeX]
et on intègre de [latex]r(1-\sqrt{2}/2) = (-{5\over 12}\sqrt{2}+{5\over 4})(1-{\sqrt{2}\over 2})=(-{25\over 24}\sqrt{2} + {5\over 3})[/latex] à 25/12

Et là Wolfram dit :  2,01201 pour l'intégrale et donc :
[TeX]\pi * 2,01201 \simeq 6,3209[/TeX]
Ce qui fait effectivement un peu plus, et donc :

Volume de l’œuf :  [latex]0,0702 + 4,0906 + 6,3209\simeq10,4817\hbox{ cm}^3[/latex]

et donc une facture de 30 * 48 * 10,4817 / 1000 ~ 15,09€
Voilà,voilà, tu n'aura pas à réprimander ton pâtissier smile


Il y a sûrement plus simple.

 #32 - 24-04-2014 12:26:01

Vasimolo
Le pâtissier
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gâtezu 76

On est d'accord Cogito smile

Vasimolo

 #33 - 24-04-2014 19:34:53

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Gâteeau 76

Vasimolo non ce n'est pas simple, mais si tu veux passer mes concours à ma place je te laisse y aller wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #34 - 25-04-2014 00:02:29

Vasimolo
Le pâtissier
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Gââteau 76

Je ne suis pas sûr que tu ferais une bonne affaire sad

Bon courage et bonne chance smile

Vasimolo

 #35 - 28-04-2014 11:35:33

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Luxembourg

gâtezu 76

J'ai trouvé où est mon erreur de calcul qui concerne la partie centrale de l'oeuf. Pour le finaliser (je suis assez têtu), j'ai besoin de connaître la primitive de V(1-x²) ou encore (1-x²)^(1/2), introuvable parmi les "primitives standards" ou en intégrant par parties. Quelqu'un a t-il une idée ?

 #36 - 28-04-2014 11:37:51

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâeau 76

Tu as essayé le changement de variable x=siny ?

Vasimolo

 #37 - 28-04-2014 15:24:23

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Gâtau 76

cos²x + sin²x = 1
Cela est tellement trivial que j'aurais pu y penser.
Ca se voit que j'ai quitté l'école depuis longtemps.
Merci Vasimolo, j'y retourne.

 #38 - 29-04-2014 10:46:03

Vasimolo
Le pâtissier
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fâteau 76

J'ai supprimé quelques messages à propos d'une question évoquée au début du fil , je la trouve plutôt intéressante mais elle parasitait un peu le problème .

En bref ça sera le sujet d'un prochain gâteau smile

Vasimolo

 

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