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#1 - 19-08-2017 18:17:23
- Vasimolo
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#2 - 20-08-2017 11:16:57
- Ebichu
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Gteau 142
Ton pâtissier va réussir son tour de magie, car s'il y a n couches dans le gâteau, alors la moyenne qu'on va lui annoncer sera comprise dans l'intervalle [n-1;n+1[.
Donc inversement, si on lui annonce une moyenne comprise dans l'intervalle [n;n+1[, il peut en déduire qu'il y a n ou (n+1) couches dans le gâteau.
La moyenne annoncée a donc été calculée par a/n ou b/(n+1). Une ambiguïté apparaît si on peut trouver deux entiers a et b tels que a/n=b/(n+1), or comme n et (n+1) sont premiers entre eux, cela implique que n divise a et (n+1) divise b, c'est-à-dire que la moyenne annoncée est entière.
Finalement, en partant d'une moyenne k comprise dans ]n;n+1[, il la multiplie par n et par (n+1) : seul un des deux nombres obtenus est entier. Si c'est par exemple kn, il en déduit que le gâteau a n couches, qu'il reste kn amandes et qu'on a retiré n(n+1)-kn amandes.
#3 - 20-08-2017 11:58:47
- Vasimolo
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Gâtteau 142
C'est ça Ebichu et en effet la seule difficulté est qu'il y a un doublon à trouver ( ou à éliminer ) .
Vasimolo
#4 - 20-08-2017 14:19:26
- Ebichu
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Gâteau 412
Sinon la solution que tu as trouvée concernant ton gâteau 141 m'intéresse. J'ai du mal à voir ce qu'il faut faire exactement.
#5 - 20-08-2017 18:06:16
- gwen27
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Gâteau 42
Bonjour, La somme est n(n-1) .
La moyenne est donc située, pour n, entre n(n+1)-2 et n(n+1)-2n , le tout sur (n-1).
or n(n+1)-2 = n^2 + n - 2 = (n+2)(n-1) et n(n+1)-2 = n(n-1)
La moyenne est donc située entre n et n+2. Si la moyenne est entière, on peut donc hésiter entre m, m-1 (suivant le cas) et m-2 pour n.
Sinon, on ne peut pas hésiter car la moyenne varie de 1/n en 1/n sur l'intervalle n n+2 et à part un facteur 2 les 3 nombres sont premiers entre eux et ne donneront jamais la même valeur. les tiers, les quarts et les cinquièmes s'excluent, de même que quarts, cinquièmes et sixièmes (à part pour 1/2 qui donne une valeur entière de n pour les deux fractions paires.)
#6 - 20-08-2017 18:21:37
- Vasimolo
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Gâteau 1442
C'est ça Gwen
Vasimolo
#7 - 21-08-2017 18:13:07
- nodgim
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gâteai 142
Autrement dit, pour des tours à n et m étages, il faudrait que : (n(n+1)-2a)/(n-1)=(m(m+1)-2b)/(m-1) avec a <= n et b <= m Or, pour une tour à n étages, cette moyenne varie de n+2 (pour a = 1) à n (pour a = n). Donc une éventuelle égalité ne peut survenir que pour n et m espacés d'une unité. n+1+(n+1-2a)/(n-1)=n+2+(n+2-2b)/n (2n-2a) * n = (3n+2-2b) * (n-1) Comme n et n-1 sont premiers entre eux, 3n+2-2b doit diviser n pour espérer l'égalité. Pour b= 1, n+1 ou (n+2)/2, seules valeurs possibles, la moyenne est entière (et vaut n+1, n+2 ou n+3)
Ton pâtissier a donc raison.
#8 - 21-08-2017 19:34:27
- Vasimolo
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Gâteau 14
Oui Nodgim
Vasimolo
#9 - 21-08-2017 21:55:30
- tanahe
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#10 - 22-08-2017 11:04:43
- Vasimolo
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GGâteau 142
Non la moyenne n'est pas toujours entière , elle l'est même rarement . Attention l'étage retiré peut se situer à une hauteur quelconque .
Vasimolo
#11 - 22-08-2017 18:36:45
- Vasimolo
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Gâteau 1422
Tout a été dit ou presque .
J’étais parti sur une solution très proche de celle d’Ebichu , Gwen ou Nodgim .
On voit très vite que pour une moyenne non entière M donnée , il ne peut y avoir que deux gâteaux possibles de hauteur n ou n-1 . Dans les deux cas on peut calculer le nombre d'amandes enlevées et la différence entre les deux vaut 2n-M qui n'est pas entier et c'est fini .
Merci aux participants
Vasimolo
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