Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 19-08-2017 18:17:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

Gâteeau 142

Trois gâteaux sans solution ou avec une solution partielle , c’est trop sad

Un petit tour de magie de mon pâtissier :

Quand on lui a présenté une tour de Hanoï  constituée de couches successives contenant 2 , 4 , 6 , 8 , … amandes  , il a déclaré :  je n’ai pas compté le nombre d’étage mais si on en retire un et qu’on me donne alors le nombre moyen d’amandes par étage : je vous dirai combien d’amandes ont été retirées et combien il en reste ( à condition toutefois que cette moyenne ne soit pas entière ) .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-hanoi.png

C’est possible ce truc ????

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 20-08-2017 11:16:57

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 494

Gâteau 1142

Ton pâtissier va réussir son tour de magie, car s'il y a n couches dans le gâteau, alors la moyenne qu'on va lui annoncer sera comprise dans l'intervalle [n-1;n+1[.

Donc inversement, si on lui annonce une moyenne comprise dans l'intervalle [n;n+1[, il peut en déduire qu'il y a n ou (n+1) couches dans le gâteau.

La moyenne annoncée a donc été calculée par a/n ou b/(n+1). Une ambiguïté apparaît si on peut trouver deux entiers a et b tels que a/n=b/(n+1), or comme n et (n+1) sont premiers entre eux, cela implique que n divise a et (n+1) divise b, c'est-à-dire que la moyenne annoncée est entière.

Finalement, en partant d'une moyenne k comprise dans ]n;n+1[, il la multiplie par n et par (n+1) : seul un des deux nombres obtenus est entier. Si c'est par exemple kn, il en déduit que le gâteau a n couches, qu'il reste kn amandes et qu'on a retiré n(n+1)-kn amandes.

 #3 - 20-08-2017 11:58:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

Gâteua 142

C'est ça Ebichu et en effet la seule difficulté est qu'il y a un doublon à trouver ( ou à éliminer smile ) .

Vasimolo

 #4 - 20-08-2017 14:19:26

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 494

Gtâeau 142

Sinon la solution que tu as trouvée concernant ton gâteau 141 m'intéresse. J'ai du mal à voir ce qu'il faut faire exactement.

 #5 - 20-08-2017 18:06:16

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,709E+3

Gâeau 142

Bonjour,
La somme est n(n-1) .

La moyenne est donc située, pour n, entre n(n+1)-2 et n(n+1)-2n , le tout sur (n-1).

or n(n+1)-2 = n^2 + n - 2 = (n+2)(n-1) et n(n+1)-2 = n(n-1)

La moyenne est donc située entre n et n+2.
Si la moyenne est entière, on peut donc hésiter entre m, m-1 (suivant le cas) et m-2 pour n.

Sinon, on ne peut pas hésiter car la moyenne varie de  1/n en 1/n sur l'intervalle n n+2 et à part un facteur 2 les 3 nombres sont premiers entre eux et ne donneront jamais la même valeur. les tiers, les quarts et les cinquièmes s'excluent, de même que quarts, cinquièmes et sixièmes (à part pour 1/2 qui donne une valeur entière de n pour les deux fractions paires.)

 #6 - 20-08-2017 18:21:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

Gâteau 412

C'est ça Gwen smile

Vasimolo

 #7 - 21-08-2017 18:13:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3228

Gâteeau 142

Autrement dit, pour des tours à n et m étages, il faudrait que :
(n(n+1)-2a)/(n-1)=(m(m+1)-2b)/(m-1) avec a <= n et b <= m
Or, pour une tour à n étages, cette moyenne varie de n+2 (pour a = 1) à n (pour a = n).
Donc une éventuelle égalité ne peut survenir que pour n et m espacés d'une unité.
n+1+(n+1-2a)/(n-1)=n+2+(n+2-2b)/n
(2n-2a) * n = (3n+2-2b) * (n-1)
Comme n et n-1 sont premiers entre eux, 3n+2-2b doit diviser n pour espérer l'égalité.
Pour b= 1, n+1 ou (n+2)/2, seules valeurs possibles, la moyenne est entière (et vaut n+1, n+2 ou n+3)

Ton pâtissier a donc raison.

 #8 - 21-08-2017 19:34:27

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

hâteau 142

Oui Nodgim smile

Vasimolo

 #9 - 21-08-2017 21:55:30

tanahe
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 3

Gâetau 142

Salut smile
je sais pas si j'ai bien compris :s par ce que la moyenne sera toujours a mon sens entière.. Oo du coups j'ai envies de dire non..
mais sinon oui ^^ la moyenne sera toujours égale au nombre d’étage restant après soustraction du dernier et donc du coups pour savoir le nombre d'amande retirées, suffit d'ajouter 1 a la moyenne et multiplier par 2 ^^ et pour dire combien il en reste suffit de multiplier cette moyenne par elle même +1 smile
par ex avec 19 étages si on en retire 1 cela donnera une moyenne de 18 amandes par étage, le nombre d'amandes enlevé est égale a (18+1 )*2 soit 38 amandes et il en restera 18*19 soit 342

bien sur cela fonctionne seulement a partir de deux étages, par ce que sinon ya plus de gâteau du tout T_T... plus de gâteau.. quelle tristesse..


-- edit --
Merci Vasimolo ^^
effectivement c'est pas précisé que c'est le dernier qui est retiré..
je trouvais ca aussi trop facile xD
satané cerveau rouillé ^^"
bon big_smile je retourne a mes calculs !

 #10 - 22-08-2017 11:04:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

âGteau 142

Non la moyenne n'est pas toujours entière , elle l'est même rarement . Attention l'étage retiré peut se situer à une hauteur quelconque .

Vasimolo

 #11 - 22-08-2017 18:36:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

Gâteau 1142

Tout a été dit ou presque .

J’étais parti sur une solution très proche de celle d’Ebichu , Gwen ou Nodgim .

On voit très vite que pour une moyenne non entière M donnée , il ne peut y avoir que deux gâteaux possibles de hauteur n ou n-1 . Dans les deux cas on peut calculer  le nombre d'amandes enlevées et la différence entre les deux vaut 2n-M qui n'est pas entier et c'est fini .

Merci aux participants smile

Vasimolo

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pim, Pam et ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Gâteau 144 par Vasimolo
24-09-2017 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 17 par Vasimolo
28-07-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 137 par Vasimolo
28-06-2017 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 2 par Vasimolo
09-04-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 13 par Vasimolo
11-07-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 90 par Vasimolo
20-01-2015 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 71 par Vasimolo
15-02-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 92 par Vasimolo
07-02-2015 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 101 par Vasimolo
10-07-2015 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 68 par Vasimolo
24-01-2014 Enigmes Mathématiques

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete