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 #26 - 23-05-2016 13:47:52

QUATTRED
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

Billard triangulaie

Soit le triangle équilatéral ABC

La boule part du milieu d'un coté (AB par exemple), avec un angle de 60° en direction du coté AC ; elle  décrit  une trajectoire parallèle au coté BC de longueur 1/2 avant d'atteindre AC avec un angle de 60°.

Elle repart en direction de BC avec une trajectoire parallèle à AB...  et ainsi de suite en parcourant 8 segments de longueur 1/2 avant de revenir à son point de départ.

#0 Pub

 #27 - 23-05-2016 14:54:11

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Billard trinagulaire

@enigmatus : en effet.

@QUATTRED : ça ne marche pas, car au bout des 8 segments, elle n'est pas au point de départ, mais au milieu de [BC].

 #28 - 24-05-2016 18:53:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

billard trianhulaire

C'est marrant avec Franky nous avons pratiquement le même dessin alors que je n'ai consulté aucune littérature sur le problème .

On doit être un peu formatés quelque part lollollol

Vasimolo

 #29 - 24-05-2016 20:57:34

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

billzrd triangulaire

C'est terminé : merci aux participants, et bravo à ceux qui avaient trouvé.

Les réponses des uns et des autres couvrent bien les divers aspects du problème, je n'ai pas grand chose à ajouter. En imposant 8 rebonds, on obtenait une solution unique, sans cela, il y aurait également eu une solution à 7 rebonds, et une à 9 rebonds (un peu pathologique cette dernière).

 #30 - 24-05-2016 22:48:36

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Billard rtiangulaire

Avec 7 rebonds et 9 rebonds, n’importe quelle position de départ (sauf les sommets) semble convenir, avec des angles respectifs de arctan(V3/3) = 30° et arctan(V3/9) = 10,89° env.

A noter que les solutions à nombre impair de rebonds semblent également cycliques, ce qui (à quelques exceptions près) n’est pas le cas de celles à nombre pair.

@Vasimolo: J’avoue avoir lu un article sur les trajectoires périodiques dans un billard triangulaire ici: http://mathenjeans.free.fr/amej/edition … 125130.pdf, dont je me suis largement inspiré, sans que celui-ci en donne la solution.

 #31 - 24-05-2016 23:56:28

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Billard riangulaire

@Franky1103 : quand tu dis "angles respectifs", n'aurais-tu pas interverti les cas ? Pour moi, c'est avec 9 rebonds que l'angle fait 30°.

Par ailleurs, je ne trouve pas le même angle que toi pour l'autre (10,89°), mais 30-arcsin(3/8)~7,98°.

Enfin, je ne comprends ni "n’importe quelle position de départ (sauf les sommets) semble convenir", ni "les solutions à nombre impair de rebonds semblent également cycliques" ?

 #32 - 25-05-2016 11:25:34

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

bilkard triangulaire

http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-Billard-bis.png

@Ebichu

Pour 7 rebonds, je trouve arctan[(2.V3/2)/3] = arctan(V3/3) = 30°
mais je m'aperçois maintenant que cela fonctionne pour tout nombre impair de rebonds (donc aussi pour 9 rebonds) car la boule fait des allers-retours sur deux segments seulement (sorte de figure "ondulatoire").

Pour 9 rebonds, je trouve arctan[(V3/2)/(9/2)] = arctan(V3/9) = 10,89° env.
mais je me suis peut-être trompé quelque part; cette figure n'est pas "ondulatoire" comme la précédente.

Par "n’importe quelle position de départ (sauf les sommets) semble convenir", je voulais dire que toute position de départ entre A et B convient (par exemple le trait rouge ou le trait vert ou n'importe quel autre trait parallèle).

Par "les solutions à nombre impair de rebonds semblent cycliques", je voulais dire qu'après le dernier rebond, la boule reprend la trajectoire déjà empruntée, ce qui n'est pas le cas des solutions à nombre pair de rebonds, puisque l'angle d'incidence de départ n'est pas identique à celui d'arrivée.

 #33 - 25-05-2016 14:51:31

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

billard triangulaiee

@Franky1103 : merci pour tes figures. Je comprends mieux ton message, maintenant, et j'ai identifié la source du malentendu : sur tes figures, la contrainte de longueur 4 n'est pas respectée (2V3 dans la première et (V103)/2 dans la deuxième).

Quand je parlais de solutions à 7 ou 9 rebonds, je sous-entendais qu'elles étaient de longueur 4.

 #34 - 25-05-2016 17:03:49

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

billard triangumaire

Mea culpa. Sur mes dessins, on n'a effectivement pas une longueur totale de 4.

 

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