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 #26 - 12-11-2016 23:24:59

Tonylation
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 31
Messages : 1

Gâteau 12

Salut !

Après calculs, j'arrive à la condition suivante, pour que l'ordonnée de la première découpe (en partant d'un sommet du triangle) soit la même dans les deux cas (condition nécessaire pour que les découpes soient les mêmes) :
[TeX]\sqrt(n) = 3(1 - (\frac{2}{3})^n)[/TeX]
Pour n = 1 : c'est bien sûr vérifié.

Autrement, on n'a pas égalité :

Pour n = 2 et 3 : racine irrationnelle à gauche et membre de droite rationnel.
Pour n = 4 : on a une inégalité <.
Pour n entre 5 et 8 inclus : membre de gauche irrationnel et membre droit rationnel.
Pour n plus grand : membre de gauche supérieur ou égal à 3, et membre de droite inférieur strictement à 3.

Donc, n=1 excepté, on n'a jamais la même ordonnée, donc jamais le même découpage.

C'pas élégant, mais ça marche. smile

#0 Pub

 #27 - 13-11-2016 01:46:17

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 154

gâteay 129

Je ne parviens pas à trouver le facteur manquant dont tu parles hmm

Voici la méthode que j'ai utilisé :

Préliminaires :

Soit un triangle équilatéral de hauteur [latex]h[/latex] et de coté [latex]c[/latex]

Ces deux grandeurs sont liées par la relation :
[TeX](\frac{c}{2})^2+h^2=c^2 \Leftrightarrow c=\frac{2}{\sqrt{3}}h \Leftrightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{2}c[/TeX]
Hauteurs des coupes successives dans le gâteau des aires :

L'aire de la part triangulaire est [latex]A_1=\frac{h_1^2}{\sqrt{3}}[/latex]

L'aire de la part trapézoïdale qui suit est [latex]A_2=\frac{h_2^2}{\sqrt{3}}-A_1[/latex]

On déduit alors du fait que [latex]A_1=A_2[/latex] la relation entre [latex]h_2[/latex] et [latex]h_1[/latex] : [latex]h_2=\sqrt{2}h_1[/latex]

On montre ainsi par récurrence que [latex]h_k=\sqrt{k}h_1[/latex]

En particulier [latex]h_n=\frac{\sqrt{3}}{2}c=\sqrt{n}h_1 \Leftrightarrow h_1=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{n}}c[/latex]

Au final [latex]h_k=\frac{\sqrt{3}}{2}c\sqrt{\frac{k}{n}}[/latex]

Hauteurs des coupes successives dans le gâteau des périmètres :

Le périmètre de la part triangulaire est [latex]P_1=3\frac{2}{\sqrt{3}}h_1[/latex]

Le périmètre la part trapézoïdale qui suit est [latex]P_2=3\frac{2}{\sqrt{3}}h_2-\frac{P_1}{3}[/latex]

On déduit alors du fait que [latex]P_1=P_2[/latex] la relation entre [latex]h_2[/latex] et [latex]h_1[/latex] : [latex]h_2=\frac{4}{3}h_1[/latex]

On montre ainsi par récurrence que [latex]h_k=(\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{3^i})h_1=\frac{1}{2}(3-3^{1-k})h_1[/latex]

En particulier [latex]h_n=\frac{\sqrt{3}}{2}c=\frac{1}{2}(3-3^{1-n})h_1 \Leftrightarrow h_1=\frac{\sqrt{3}}{3-3^{1-n}}c[/latex]

Au final [latex]h_k=\frac{\sqrt{3}}{2}c\frac{3-3^{1-k}}{3-3^{1-n}}[/latex]

Équation des lignes de coupe identiques :

On égalise les 2 expression obtenues précédemment pour obtenir l'équation :
[TeX]\sqrt{\frac{k_a}{n}}=\frac{3-3^{1-k_p}}{3-3^{1-n}}=3^{n-k_p}\frac{3^{k_p}-1}{3^n-1}[/TeX]

 #28 - 13-11-2016 10:03:29

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2798
Lieu: Luxembourg

Gâteau 1129

Soit c le côté du gâteau triangulaire, que je découpe en k parts.
La longueur du n-ième segment à partir du haut est:
- pour des parts de même aire: L(n) = c . (n/k)^(1/2)
- pour des parts de même périmètre: L(n) = c . 3^(k-n) . (3^n – 1) / (3^k – 1)
Deux traits de couteau (pas forcément de même rang) sont identiques si:
c . (m/k)^(1/2) = c . 3^(k-n) . (3^n – 1) / (3^k – 1)
=> m = k . [3^(k-n) . (3^n – 1) / (3^k – 1)]^2
Or comme (3^k – 1) ne divise ni 3^(k-n) ni (3^n – 1), m ne peut pas être entier.
Donc on ne peut pas avoir deux traits de couteau identiques sur les deux gâteaux.

 #29 - 13-11-2016 13:05:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

Gâteau 1299

Une réponse à tous smile

Tout le monde ( ou presque) arrive grosso-modo à cette formule en entiers naturels :
[TeX]n(3^k-1)^2 \times 3^{2(n-k)}=m(3^n-1)^2[/TeX]
Avec [latex]m<n[/latex] et [latex]k<n[/latex] , [latex]n[/latex] désignant le nombre de parts .

Il y a beaucoup de paramètres dans la relation et [latex]3[/latex] est un facteur  possible de [latex]m[/latex] .

Bref contrairement à ce que j'ai annoncé , seule la démonstration d'Ebichu continue à me convaincre .

J'ai pu raté quelque chose ( c'est même fort probable lollollol )

Vasimolo

 #30 - 14-11-2016 10:52:53

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

Gâteau 1129

Je crois que j'ai.

m doit être entier. Il faut donc que n * (3^k-1)² / (3^n-1)² soit entier, le reste de l'expression étant une puissance de 3, donc premier avec 3^n-1. Le mieux qu'on puisse obtenir dans la simplification avec 3^k-1, c'est quand n = 2k. le résultat de la division est 3^k+1. Cette seule expression est plus grande que n = 2k, même sans mettre au carré. (ne pas oublier que n est > 9 car m vaut au moins 9). Donc m ne peut être entier.


Cas général de la simplification d'une fraction (3^n-1) / (3^k-1).

Le pgcd des 2 nombres vaut  3^pgcd(n,k) - 1 (on fait une série de divisions euclidiennes à la manière de la recherche du pgcd de 2 nombres. Le max de ce pgcd est quand pgcd(n,k)= k, c'est à dire quand n=pk. Dans ce cas, 3^pk - 1 s'écrit 2222...pk fois en base 2, et la division par 3^k-1 donne le nombre 1000..1000..1000...1, c'est à dire p-1 fois des séquences 1000...de k chiffres terminées par un 1. Si p = 2, le nombre résiduel de la simplification est 10000....1 de k+1 chiffres.

 #31 - 14-11-2016 16:56:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

Gâtea u129

Oui , bravo Nodgim et Ebichu smile

Je pensais m'en sortir avec le facteur 3 comme dans la première version de Nodgim mais je m'étais un peu emmêlé dans mes indices .

Si chaque cas particulier est facile à traiter , la généralisation n'est pas complètement évidente , merci aux participants .

Vasimolo

 

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