Je ne parviens pas à trouver le facteur manquant dont tu parles

Voici la méthode que j'ai utilisé :

Préliminaires :

Soit un triangle équilatéral de hauteur [latex]h[/latex] et de coté [latex]c[/latex]

Ces deux grandeurs sont liées par la relation :
[TeX](\frac{c}{2})^2+h^2=c^2 \Leftrightarrow c=\frac{2}{\sqrt{3}}h \Leftrightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{2}c[/TeX]
Hauteurs des coupes successives dans le gâteau des aires :

L'aire de la part triangulaire est [latex]A_1=\frac{h_1^2}{\sqrt{3}}[/latex]

L'aire de la part trapézoïdale qui suit est [latex]A_2=\frac{h_2^2}{\sqrt{3}}-A_1[/latex]

On déduit alors du fait que [latex]A_1=A_2[/latex] la relation entre [latex]h_2[/latex] et [latex]h_1[/latex] : [latex]h_2=\sqrt{2}h_1[/latex]

On montre ainsi par récurrence que [latex]h_k=\sqrt{k}h_1[/latex]

En particulier [latex]h_n=\frac{\sqrt{3}}{2}c=\sqrt{n}h_1 \Leftrightarrow h_1=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{n}}c[/latex]

Au final [latex]h_k=\frac{\sqrt{3}}{2}c\sqrt{\frac{k}{n}}[/latex]

Hauteurs des coupes successives dans le gâteau des périmètres :

Le périmètre de la part triangulaire est [latex]P_1=3\frac{2}{\sqrt{3}}h_1[/latex]

Le périmètre la part trapézoïdale qui suit est [latex]P_2=3\frac{2}{\sqrt{3}}h_2-\frac{P_1}{3}[/latex]

On déduit alors du fait que [latex]P_1=P_2[/latex] la relation entre [latex]h_2[/latex] et [latex]h_1[/latex] : [latex]h_2=\frac{4}{3}h_1[/latex]

On montre ainsi par récurrence que [latex]h_k=(\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{3^i})h_1=\frac{1}{2}(3-3^{1-k})h_1[/latex]

En particulier [latex]h_n=\frac{\sqrt{3}}{2}c=\frac{1}{2}(3-3^{1-n})h_1 \Leftrightarrow h_1=\frac{\sqrt{3}}{3-3^{1-n}}c[/latex]

Au final [latex]h_k=\frac{\sqrt{3}}{2}c\frac{3-3^{1-k}}{3-3^{1-n}}[/latex]

Équation des lignes de coupe identiques :

On égalise les 2 expression obtenues précédemment pour obtenir l'équation :
[TeX]\sqrt{\frac{k_a}{n}}=\frac{3-3^{1-k_p}}{3-3^{1-n}}=3^{n-k_p}\frac{3^{k_p}-1}{3^n-1}[/TeX]

Une réponse à tous

Tout le monde ( ou presque) arrive grosso-modo à cette formule en entiers naturels :
[TeX]n(3^k-1)^2 \times 3^{2(n-k)}=m(3^n-1)^2[/TeX]
Avec [latex]m<n[/latex] et [latex]k<n[/latex] , [latex]n[/latex] désignant le nombre de parts .

Il y a beaucoup de paramètres dans la relation et [latex]3[/latex] est un facteur  possible de [latex]m[/latex] .

Bref contrairement à ce que j'ai annoncé , seule la démonstration d'Ebichu continue à me convaincre .

J'ai pu raté quelque chose ( c'est même fort probable )

Vasimolo

Oui , bravo Nodgim et Ebichu

Je pensais m'en sortir avec le facteur 3 comme dans la première version de Nodgim mais je m'étais un peu emmêlé dans mes indices .

Si chaque cas particulier est facile à traiter , la généralisation n'est pas complètement évidente , merci aux participants .

Vasimolo