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 #1 - 02-12-2015 18:19:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea u111

Bonjour à tous .

Un petit gâteau pour sortir un peu de l’arithmétique  smile

Le triangle équilatéral rouge de côté 20 cm est complètement recouvert par 5 biscuits bleus .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau111.png

Quel est le plus grand triangle équilatéral qu’on pourra recouvrir avec 4 de ces biscuits ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 02-12-2015 18:32:32

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

hâteau 111

Salut Vasimolo,
On recouvre exactement un grand triangle avec 4 petits. Si ces petits sont une taille légèrement plus faible, avec 5 d'entre eux je ne vois comment remplir le grand triangle. Aussi, il me semble que 4 triangles des 5 qui recouvrent ton triangle rouge le couvrent également.
Si tant est que les petits triangles sont des équilatéraux comme sur le dessin.

 #3 - 02-12-2015 18:40:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteai 111

Oui , Nodgim les triangles bleus sont bien équilatéraux . Pour la suite le : "il me semble" , mériterait quelques justifications smile

Vasimolo

 #4 - 02-12-2015 19:20:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

âGteau 111

Il faudra bien remplir les 3 sommets du grand triangle avec 3 petits triangles. Restera alors à remplir le milieu avec, au pire, 1 triangle de coté légèrement supérieur à celui des petits triangles. Or un triangle de coté légèrement plus petit ne peut couvir plus d'un sommet. Les 2 triangles ne pourront donc au mieux couvrir que 2 sommets.

 #5 - 02-12-2015 19:27:29

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

Gâtteau 111

La taille minimum recouvrable à coup sûr, ça aurait un sens mais la taille maximum... euh je ne vois pas le problème vu qu'il n'y a pas de limite à la taille des triangles bleus tel que le problème est posé.

 #6 - 02-12-2015 19:43:38

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Gâteau 1111

Salut !

En dessinant un triangle équilatéral et en reliant tous les milieux des côtés on dessine 4 triangles équilatéraux égaux.

Je dirait donc un triangle de côté 2 fois le côté d'un triangle bleu...

 #7 - 03-12-2015 09:46:39

nobodydy
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1286

gâteai 111

http://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-N40-p41.jpghttp://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-N40-p29.jpghttp://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-N40-p30.jpg





Salut

J'ai toujours un peu de mal à comprendre l'énoncé sad

voici ma modeste contribution
Avec 4 biscuits de taille x de coté, on peut recouvrir un gâteau de taille 2x.
http://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-vasimolo-gateau111a.jpg

Ou alors je n'ai encore une fois, rien compris lol

Bonne journée

 #8 - 03-12-2015 10:07:03

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Gâtea 111

Le problème semble sympa mais je ne comprend pas précisément l'énoncé. Faut il se fier au dessin ?

Le problème est il  : a partir de 4 triangles équilatéraux de même taille l, quelle taille maximum L pour un triangle équilatéral peut on recouvrir ?

 #9 - 03-12-2015 11:27:34

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

Gâteeau 111

bonjour.

4 , 5 , 6 , 7 biscuits : même combat pour un triangle équilatéral de côté 20 cm. il me semble. si le biscuit a pour côté a  4 biscuits suffisent pour couvrir un triangle de côtés 2a . Pour un triangle légèrement plus grand (2a + un chouia ) , 4 biscuits supplémentaires sont nécessaires il me semble .
donc avec 4 biscuits on couvre toujours ce triangle de 20cm d'arête ; dès lors que
le côté du biscuit est 10cm <= c  < 20cm

 #10 - 03-12-2015 12:37:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

gâteai 111

Autre idée: pour recouvrir 1 coté du triangle, il faut 3 petits triangles. Pour les 2 cotés il en faut 5. Le 3ème coté n'est pas couvert.

 #11 - 03-12-2015 23:19:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteai 111

Je regarde en détail les solutions proposées .

En attendant je précise la question qui n'était pas franchement limpide ( comme d'habitude smile ) .

On sait qu'on peut recouvrir complètement le triangle rouge avec les 5 biscuits bleus . On ne connait pas la taille des biscuits bleus ni leurs dispositions , on sait simplement que ce sont des triangles équilatéraux , qu'ils ont la même taille et qu'ils recouvrent complètement le triangle rouge . On se demande quelle est la taille du plus grand triangle équilatéral qu'on est assuré de pouvoir recouvrir avec seulement 4 de ces biscuits .

J'espère que c'est plus clair , sinon n'hésitez pas à poser des questions .

Vasimolo

 #12 - 03-12-2015 23:32:42

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âteau 111

@Nodgim : c'est bon smile
@Gwen : j'ai essayé de répondre à tes questions dans le message précédent .
@Golgot & @Nobodydy : c'est juste mais on ne connait pas le côté du triangle bleu .
@Portugal : pas tout à fait , j'espère que le message précédent clarifie le problème .
@Unecoudée : peut-être mais il faut justifier smile

Vasimolo

 #13 - 03-12-2015 23:34:27

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Gâteaau 111

Dans ce cas mon intuition :

Un triangle (toujours équilatéral par la suite) se divise facilement en 4 petits triangles
Supposons notre triangle "rempli de la sorte et ajoutons un 5eme triangle a placer.

* on peut toujours la placer de coté et couvrir la même surface donc C<=20
* au mieux on couvrira parfaitement le triangle agrandi et donc C>= 4 / 5 * 20=16

Cependant,"il semble" que pour agrandir le triangle il faut commencer par "baiser les 3 petits triangles pour couvrir le base d'un triangle agrandi. Mais dans ca cas, il est impossible de couvrir le haut de notre nouveau triangle.

Mon intuition me fait donc répondre 20cm... (pas facile d'expliquer quand on ne sait pas poster un dessin...)

 #14 - 03-12-2015 23:41:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâetau 111

Ton intuition est la bonne , il y a une justification simple qui peut se passer d'illustration .

Vasimolo

 #15 - 03-12-2015 23:46:34

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Gtâeau 111

J'y pensais.

On prend notre triangle agrandi vers le bas.

On doit couvrir les 3 sommets. autant les faire aller ' a l'intérieur du triangle" tant que se faire.

Il faut bien alors remplir le point en base au milieu donc on palce un 4eme triangle qui "remonte" au mieux tant qu'à faire mais  il nous reste alors une figure restante en forme de trapeze que l'on ne peut clairement pas remplir avec 1 triangle vu que dan le sens de la largeur il est "en dessous" du petit triangle du haut donc plus large...ce qui n'est pas possible

 #16 - 03-12-2015 23:53:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâetau 111

Là il faudrait une illustration smile

Vasimolo

 #17 - 04-12-2015 00:04:21

portugal
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 374

Gâteau 11

http://www.prise2tete.fr/upload/portugal-triangle_1.pdf


Voici avec mon écriture et un stylo qui rend l’âme...

en m'excusant pour le torticolis...

C'est un peu à la manière d'une énigme...Les 3 premiers sommets font trouver les 3 premiers triangles qui font apparaître un autre sommet donc un nouveau triangle et laissent apparaître un trapèze non atteignable...

Il y a une petite erreur dans le dessin du triangle qui ne change pas le raisonnement. Réponse plus concise plus loin dans la page...

 #18 - 04-12-2015 00:14:24

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtea u111

Tu as l'idée , mais on peut faire plus simple smile

Vasimolo

 #19 - 04-12-2015 07:19:15

gwen27
Elite de Prise2Tete
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gâtezu 111

Si les triangles bleus faisaient moins de 10 cm de côté, il en faudrait 6 pour couvrir le triangle rouge puisque les trois sommets et les 3 milieux des côtés s'excluraient mutuellement au recouvrement. Donc les triangles ont au minimum 10 cm de côté.

Avec 4, on est dons assurés de recouvrir le triangle rouge.

 #20 - 04-12-2015 11:41:47

nobodydy
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1286

Gâeau 111

Salut

Désolé, ce n'est pas plus clair
Si j'ai bien compris on cherche une taille max du triangle rouge avec 4 biscuits

je répondrais tout dépend la taille des biscuits jaunes que l'on ne connait pas
A vrai dire, on ne connait rien. lollol

3 exemples, ci dessous 5 biscuits, recouvre un triangle équilatéral de 20cm
http://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-vasimolo-gateau111b.jpg

Peut être comprendrais-je un jour du premier coup ? lol

 #21 - 04-12-2015 17:16:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gââteau 111

@Gwen : c'est ça .
@Nobodydy : je ne sais plus comment expliquer autrement , j'essaie quand même sans conviction smile

On oublie tout ce que j'ai dit et :

J'ai à ma disposition un lot de 5 petits triangles équilatéraux identiques . Avec ces 5 triangles je peux recouvrir complètement un triangle équilatéral de côté 20 cm . Maintenant je ne prends plus que 4 des 5 triangles . L'aire de ces triangles représente au moins les 4/5 de l'aire du grand triangle initial , on va donc pouvoir , en les assemblant comme tu l'as fait , construire un triangle dont l'aire sera au moins égale aux 4/5 de celle du grand triangle . On est donc certain avec eux de pouvoir recouvrir un triangle de côté [latex]8\sqrt{5}\approx 17,88...[/latex] .

Sans connaître la taille des 4 petits triangles , peux-tu être assuré qu'ils peuvent recouvrir un triangle encore plus grand et jusqu'à quelle limite ???

Vasimolo

 #22 - 04-12-2015 17:26:16

portugal
Professionnel de Prise2Tete
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Gâteu 111

Une explication sans dessin

Soit un triangle ABC de dimension x recouvert complètement par 4 petits triangles de cotés x/2 par la construction élémentaire du recouvrement parfait

Considérons maintenant  un triangle AB'C' de dimension x+€ ou B' et C' sont placés dans le prolongement de AB et AC.

Appelons A'', B'', C'' les milieux respectifs de B'C', AC', AB'

Pour recouvrir AB'C' il faut entre autres recouvrir les points A, B', C', A'', B'', C"

Or aucun triangle de longueur x/2 ne peut toucher 2 de ces points qui sont tous séparés d'au moins de (x+€)/2.

Cinq triangles x/2 ne peuvent donc pas recouvrir notre nouvelle figure.

 #23 - 04-12-2015 17:30:27

Vasimolo
Le pâtissier
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gâyeau 111

C'est ça Portugal smile

Vasimolo

 #24 - 04-12-2015 17:33:36

portugal
Professionnel de Prise2Tete
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Gâteaau 111

C'est toujours bien de se pousser à décrire exactement quelque chose dont on a l'idée approximative...c'est l'attrait de ce forum interactif qui me pousse dans mes retranchements...un grand merci !

 #25 - 04-12-2015 17:51:51

nobodydy
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1286

Gâteauu 111

Merci pour ta précision smile

C'est incroyable le décalage de compréhension que je peux avoir avec tes gâteaux. sad lol

Je répondrais donc : si tu peux recouvrir ton gâteau de 20cm avec 5 triangles
tu pourras aussi avec 4, cela ne change rien.

Sinon, j'attendrais la solution pour essayer de comprendre la subtilité.

Bon week end

Édit: je pense avoir compris la subtilité et la limite est 20cm de côté

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