Non.

Déjà, avec deux parts, on peut toujours trouver une manière de garder les deux bougies sur la même part.

Oui Gasole , tout le problème est de justifier l'existence de cette bijection ou de trouver un exemple où elle n'existe pas

Vasimolo

Soit $P=\{p_1,...,p_n\}$ l'ensemble des parts de $G_1$ et $P'=\{p'_1,...,p'_n\}$ l'ensemble des parts de $G_2$.

On dira que $p_i$ chevauche $p'_j$ si et seulement si leur intersection est non-vide.

Pour chaque $p_i$, soit $f(p_i)$ l'ensemble des $p'_j$ que $p_i$ chevauche.

Soit $A$ l'ensemble des couples : $A=\{(p_i,p'_j)/ p'_j\in f(p_i)\}$ (NB : $f(p_i)$ n'est jamais vide de même que $f^{-1}(p'_j)$, donc tous les $p_i$ apparaissent au moins une fois, de même que les $p'_j$).

Alors le graphe $G=(P,P';A)$ est un graphe biparti. L'existence d'une bijection $b$ entre $P$ et $P'$ telle que $p_i\cap b(p_i)\neq \emptyset$, revient à l'existence d'un couplage parfait du graphe $G$.

Le théorème de Hall pour les graphes précise une condition nécessaire et suffisante pour l'existence de ce couplage parfait :

Théorème de Hall pour les graphes - Un graphe biparti $G=(P,P';A)$ admet un couplage parfait si et seulement si pour tout sous-ensemble $X$ de $P$ (de $P'$, respectivement), le nombre de sommets de $P'$ (de $P$, respectivement) adjacents à un sommet de $X$ est supérieur ou égal à la cardinalité de $X$.

On vérifie que notre graphe vérifie cette condition : c'est immédiat dans la mesure où $k$ parts de $G_1$ chevauchent nécessairement au moins $k$ parts de $G_2$ et réciproquement (sinon la surface couverte par les premières serait strictement supérieure à celle couverte par les secondes ce qui n'est évidemment pas possible vu qu'elles sont de surfaces égales).

@Vasimolo : j'avoue avoir eu la flemme de redémontrer ce théorème dans ce cas particulier (hou hou !) car je pressens que c'est à ça qu'une approche plus soft va revenir... mais qui sait ?

Intéressant ce théorème de Hall (et ton énigme aussi évidemment).

Comme le découpage se fait en parts de même volume, on peut affirmer que chaque groupe de parts du 1er gâteau intersecte au moins autant de parts du 2ème.  Par le théorème de Hall, on peut donc associé à chaque part du 1er gâteau une part du 2ème gâteau qui l'intersecte. On pose alors les bougies sur ces intersections.

Il s'agît d'une des multiples utilisations du théorème des mariages , à déguster sans modération .

http://books.google.fr/books?id=1L0Ydxj … mp;f=false

Je vous laisse lire la démo de Gazole ou celle d'Irmo ( un peu moins technique ) .

Merci pour la participation

Vasimolo

Merci Shadock ,

je crois aussi , à mon corps défendant et sûrement au grand dam de certains , qu'il ne me lâchera pas de sitôt ce bougre de pâtissier

Vasimolo

Intersecter ne donne t-il point intersection en y réfléchissant un peu