Les sommets sont à $1-\sqrt2/2$ du centre ce qui determine trois points de l'arc formant le coté du 'blob'. Pythagore nous donne la corde de l'arc qui mesure $\sqrt2-1$ et sa flèche $\frac{3-2\sqrt2}4$.

Ensuite avec ceci on détermine le rayon de l'arc puis son angle.
$$R=\frac{7-2\sqrt2}8$$
$$\alpha=2arcsin(\frac{C}{2R})\approx 0.8168 rad$$
$$L_{arc}=\alpha R$$
ce qui donne un périmètre = 1.7038

On calcule ensuite la surface du camembert $\frac{\alpha}2 R^2\approx 0.111$ dont on retire le triangle corde/rayon/rayon pour ne garder que la surface de la partie bombée 0.0119.
4 surfaces bombées + le carré intérieur de cote C ($S_{C^2}=3-2\sqrt2\approx 0.17157$) nous donne une aire = 0.2194

Ouf !

Bonne réponse de L00ping et encore une belle solution de Franck.

La courbe est formée par 4 morceaux de parabole.

En sortant la petite artillerie de la géométrie analytique, on trouve que l'aire recherchée est 8 x (intégrale(1/4-y²) ((entre 0 et 1/4)) - 1/2 (1/4)²)=5/24.

Pour le périmètre, j'ai fait ds²=dx²+dy²=(4y²+1) dy², donc le périmètre est : 8 x (intégrale(rac(4y²+1) dy) ((entre 0 et 1/4)).
Ensuite, j'ai la flemme de rechercher les changements de variable à faire ...

Pas super sûr mais j'essaie...
Intuitivement, la limite de l'aire bleue sur l'aire rose quand le petit côté du trapèze tend vers 0 vaut 2.
J'en déduis que l'aire du carré est égale à 3 fois l'aire grise + l'aire des 4 carrés dans les coins. Le côté de ces carrés vaut $c=\frac{2-\sqr{2}}{2}$

On a donc $1=3x+4c^2$
$$x=\frac{4\sqr{2}-5}{3}$$

Bon alors j'ai une super idée !

Soit R la longueur du segment du centre du carré au coté du carré.
Si Theta est l'angle que fait ce segment avec l'horizontale, alors on a :
$$R=\frac{1}{2cos\theta}$$
comme on s'arrête a chaque fois à la moitié du segment, on a le R de la surface grisée :
$$R^'=\frac{1}{4cos\theta}$$
On intègre ensuite ce R entre 0 et 2 pi, pour faire le tour du carré :
S la surface :
$$S=\int_0^{2\pi}R^'d\theta\\ S=\int_0^{2\pi}\frac{1}{4cos\theta}d\theta$$
or on sait que $\int_0^{2\pi}\frac{1}{2cos\theta}d\theta = 1$
vu que c'est la surface du carré de côté 1.

Donc S=$\frac{1}{2}$

Ça me parait juste mathématiquement, même si sur le dessin ca parait trop peu. j'attends ton verdict !

1) je calcule l'equation du 1/4 de la courbe, et je trouve que la distance A entre la face du haut et le 1/4 de courbe le plus pres est de X^2_0.25, X etant la distance horizontale entre un point quelconque et le centre.
2) ensuite je calcule l'integrale pour trouver la surface exterieure.

3) j'en deduit le calcul de l'aire:
(1÷4−(√2−1)÷4−(3÷2−√2)−(5×√2−7)÷12)×4 = 0.218951416
... que je simplifie par (4×√2−5)÷3

Quand au perimetre de l'aire..... c'est une autre histoire.