Bon ben j'ai été devancé mais voici sans détails la réponse en dessin:

Comparée à la grosse armada que j'ai mise en oeuvre, la solution de gilles355 est très élégante: bravo. Je n'avais pas vu cette petite astuce.

Gilles, je pense qu'il y a un problème dans ta démo (ou un gros non-dit qui m'échappe).
Apparemment, tu n'utilises que le premier triangle rectangle, ce qui voudrait dire que ce résultat serait valable pour n'importe quel rectangle de largeur 38 (et ça ce n'est pas possible).
En fait, je pense que tu ne prouves pas que le côté du triangle à gauche vaut [latex]\sqrt{722}[/latex].

J'ai tendance à aimer la démonstration de gilles en partant du cas limite du triangle 1, même s'il manque un maillon, elle est très simple et sans aucun calcul (même rac(722) )

En prenant le triangle 1 et les traits rouges (prolongements directs : on arrive à 1/3 2/3 soit 19x3=57

En décalant la limite du triangle noir, on se contente de le reporter sans changer le rapport global. Et peu importe les 8 triangle intérieurs (qui peuvent varier d'ailleurs, je pense)

Pris à l'envers, le problème est le même, je pars des triangles en couleur, je retombe sur le "poisson" 1/3 2/3

Il manque juste les deux traits verts fléchés pour rendre la démonstration imparable.

@birmo:
J'avais fait un calcul pas à pas en posant AK = a et MN = b.
En passant les calculs intermédiaires, j'avais trouvé:
ED = EF = a/2 + b; DA = a - b; GH = GF = a/2 - b et HK = a + b.
Au final on a: EA = ED + DA = 3a/2 = 57 et GK = GH + HK = 3a/2 = 57.
Comme le "b" a été éliminé (et c'est pareil avec la solution de l'auteur), on peut penser qu'en changeant MN le résultat final restera 57. Et du coup, on ne peut pas calculer ED qui varie en fonction de MN. On voit d'ailleurs bien sur le schéma de gwen27 que MN peut varier sans changer la valeur 57.

Je poste ma réponse car... malgré plusieurs lectures, je n'ai pas vu le truc du parallélogramme qui glisse sur les bords du rectangle.
Et bien que plus calculatoire ma démo n'est pas trop longue;)



J'appelle h1 et h2 les hauteurs de T1 et T2. On voit que h1+h2 = 38.
J'appelle c3 et c4 les cotés de T3 et T4, on a c3 + c4 = 38.

Dans le sens de la longueur, on a aussi : L = c3 + 2 x h2 (en haut) et L = c4 + 2 x h1.
Donc 2 x L = 2x(h1+h2) + c3+c4 = 2 x 38 + 38
Et finalement, L = 57 cm

Bon, je vais quand même relire les démo au dessus !!!

C'est vrai que la démo de Dylasse est super sympa

Personnellement je n'ai pas encore cherché , j'essaie encore de dessiner proprement l'objet .

Vasimolo

golgot59 a écrit:

J'aime beaucoup ta démo Dylasse !

D'ailleurs, je n'ai toujours pas compris pourquoi la tête du poisson de Gwen ne sort pas de la figure de base (ou au contraire n'est pas en retrait)...

figure dynamique sous geogebra

Dans la "démo" de gwen, ce qui explique que le "poisson" loge pile dans le cadre, ce sont les 3 petits triangles identiques à MNP. En les plaçant dès le début, on comprend pourquoi le carré rouge loge pile poil : c'est ce que je n'avais pas compris au départ sans explication. Après, la solution vient facilement.

Il y a plein de démonstrations du fait que  trois largeurs font deux longueurs ( j'en ai quelques autres ) mais bizarrement contrairement à ce qu a été affirmé la figure est unique .

Vasimolo

Mais si la figure est unique il devrait y avoir un moyen de connaître la mesure des longueurs de chaque triangle non ? Parce que s'il y avait un moyen de connaître ED je serais vraiment heureux de le connaître

J'ai fait un calcul tout bête de proche en proche, en utilisant NP = a et M jusqu'au point de gauche du triangle dont un coôté est aligné avec MN = b

A partir de là tout se calcul facilement en fonction de a et b, c'est d'ailleurs étonnant de voir comme les longueurs des côtés se simplifient !

On obtient à la fin 2 équation à 2 inconnues en égalant chaque côté du rectangle à 38.

Je trouve comme Vasimolo avec a=2√2 et b=14