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 #126 - 16-05-2012 17:00:06

shadock
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Diagonale de Canto

Ok merci Mathias smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

#0 Pub

 #127 - 16-05-2012 18:40:41

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

Diagonale de Cantoor

Pour en revenir au sujet principal, une entêtante question:
Si vous tracez un trait de longueur 1, il est évident que vous passez en revue tous les points du segment, sans en oublier un seul, et dans l'ordre encore. Or, ils sont infinis ces pts. C'est drôle tout de même de penser ce que ce simple tracé réalise, alors que si vous essayez de les compter 1 par 1, ces points, vous n'en verrez jamais le bout..

Plus curieux. Le 1er pt (ça m'obsède ça, le 1er point) si on devait lui donner une valeur, en écriture décimale, c'est pas 0.001, c'est plus petit, 0.000...0001. De 2 choses l'une: ou je sais l'écrire, ce 1er point, alors j'encadre l'infini des 0 entre 2 valeurs, la virgule et le 1 ce qui est étrange pour un infini. Ou je dis que son écriture c'est 0.000... mais alors je ne sais plus faire la différence avec le 0 initial, et alors je me trompe, car j'écris en fait 0. Ou 3ème option, on ne peut l'écrire. Ce qui signifie que je n'arrive pas à faire le lien entre ce point et le nombre réel.
Si 0.00..001 peut s'écrire (Math non standard) alors ça fiche un peu par terre le tableau de Cantor, car là on pourrait borner à l'infini ce qui se passe à droite du tableau.
Si 0,00..001 n'existe pas, alors on ne sait pas non plus écrire le 2ème pt, ni le 3ème,..et au final, on ne sait pas décrire beaucoup de points.

 #128 - 16-05-2012 19:21:18

Vasimolo
Le pâtissier
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Diagonalee de Cantor

L'ordre dont tu parles s'appelle un bon ordre et l'ordre usuel dans [latex]]0;+\infty[[/latex] n'est pas un bon ordre .

Vasimolo

 #129 - 16-05-2012 23:15:25

ThomasLRG
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Diagnoale de Cantor

nodgim a écrit:

Le 1er pt (ça m'obsède ça, le 1er point)

Ce "1er point" n'existe pas. Dit autrement, pour tout nombre réel x > 0 il existe un nombre réel strictement compris entre 0 et x (il suffit de considérer x/2). Imaginons une bestiole infiniment petite qui peut se déplacer sur les nombres réels et se placer précisemment sur chacun d'entre eux. Si on place cette bestiole sur un segment privé de ses extrémités, alors tout se passera pour elle comme si on l'avait placé sur une droite : elle pourra se déplacer "à l'infini" dans un sens comme dans l'autre car où qu'elle soit, il y aura toujours un nombre après (pas de "1er point" pour l'arrêter")

nodgim a écrit:

Si 0,00..001 n'existe pas, alors on ne sait pas non plus écrire le 2ème pt, ni le 3ème,..et au final, on ne sait pas décrire beaucoup de points.

Dans la démonstration de Cantor il n'est nullement indiqué que le 1er nombre du tableau est le "1er nombre réel strictement positif" !
Au moins tu viens de mettre le doigt sur une incompréhension de la démo et on va pouvoir avancer ^^.

Reprenons au début :
Supposons que les nombres réels de l'intervalle ]0,1[ soient dénombrables et raisonnons par l'absurde (la démonstration de Cantor n'est pas une preuve par l'absurde, et donc dans un certain sens "meilleure", mais je trouve le raisonnement par l'absurde plus simple à saisir)

puisqu'ils sont dénombrables, alors il existe une bijection f : N -> ]0,1[ (par définition de la dénombrabilité).
On écrit alors dans un tableau les nombres f(0), f(1), f(2), f(3), etc... on crée alors un nouveau nombre qui n'est pas dans le tableau grace à la diagonale et on obtient la contradiction recherchée : si ce nombre n'est pas dans le tableau c'est qu'il n'a pas d'antécédent par f, mais par définition d'une bijection, tout élément de ]0,1[ doit avoir un antécédent ----> contradiction.

A noter que f(0) n'est pas "le 1er nombre réel strictement positif" dont on parlait tout à l'heure. En effet rien n'oblige à ce qu' une bijection soit croissante et en particulier que f(0) soit le plus petit des nombres.
par exemple, si on prend la fonction g : N -> N telle que pour tout nombre n, si n est pair g(n) = n +1 et si n est impair g(n) = n - 1. Alors la suite des images donne 1 0 3 2 5 4 ... g n'est pas croissante mais c'est bien une bijection.

D'ailleurs dans la même idée on a la chose curieuse suivante. Les nombres rationnels compris dans l'intervalle ]0,1[ sont dénombrables eux. Il existe donc une bijection h : N -> Q inter ]0,1[. Pourtant h(0) n'a rien de particulier et cela n'aurait aucun sens que de le décrire comme "le premier rationnel compris entre 0 et 1". En effet, cette bijection h existe mais en fait elle est loin d'être unique, un corollaire de la démonstration de l'existence d'une bijection avec N est qu'il y en a une infinité. Et il se trouve que dans ce cas particulier, aucune de ces bijections ne "sort du lot", il n'y en a pas une qui soit plus naturelle que les autres à laquelle on pourrait se référer, elle sont toutes aussi pourries les unes que les autres.
A contrario, l'ensemble des nombres pairs est aussi dénombrable, il existe donc une bijection entre cet ensemble et N. Puisqu'il existe une bijection avec N, il en existe aussi une infinité d'autres. Mais cette fois ci, il y en a une qui est spéciale car croissante et permet donc de dire "0 est le 1er des nombres pairs".

Pour résumer tout ça : attention à ne pas confondre "l'image de 0" et "le plus petit nombre ...", dans le cas général ils n'ont rien en commun.

 #130 - 17-05-2012 00:46:54

Moriss
Professionnel de Prise2Tete
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Diagonale de antor

Bon ça m'ennuie de poster dans ce sujet, mais ça fait des semaines que j'en lis chaque rebondissement et pour moi, il persiste un truc qui cloche.
Notez bien que je ne fais pas de maths dans mon quotidien mais je connais les avancées que Cantor a donné aux mathématiques, en particulier dans le domaine des infinis. Je crois d'ailleurs que l'histoire de l'hôtel infini est de lui.
Je crois donc comprendre un minimum les notions d'infinis qui ne sont pas tous équivalents. Et je n'ai aucun problème pour dire qu'il y a bijection entre l'ensemble N et celui des nombres pairs par exemple (et je crois qu'ils ont le même cardinal (le même infini pour être précis), contrairement aux doutes émis plus haut).

Bref, la remarque qui va suivre ne reprendra pas en détail tout ce qui est écrit plus haut, et elle sera plutôt simple (puisque produite par un esprit simple big_smile), donc du genre logique de base, et pas du genre grande démonstration avec des formules LatEx qui font peur. lol
Vous comprenez donc pourquoi je n'ai pas osé poster pendant plusieurs mois.

Bon, je vais me faire des ennemis tout de suite : je ne suis pas d'accord avec Cantor dans sa démonstration avec sa diagonale. Et croyez bien que j'ai essayé les solutions expliquées plus haut : j'ai fait fi de mon intiution, je suis parti du principe que Cantor avait tout bon... Rien à faire, un mystère persiste pour moi. Je pense que son raisonnement est parfaitement juste mais un des postulats faux.

Je m'explique. Reprenons le raisonnement de Cantor :
1) On écrit (de façon imaginaire bien sûr) tous les nombres réels. Vu comme ça, ils ont l'air dénombrables, ce qu'on fait imaginairement d'ailleurs. Etre dénombrable signifie qu'une bijection est réalisée avec l'ensemble N.
2) On définit un nombre tel qu'il a sa première décimale différente de celle du 1er nombre de la liste, sa 2e décimale diff. de celle du 2e nombre, etc.
3) Ce nombre n'est donc pas dans la liste. Il n'a donc pas été dénombré lors de l'étape 1.
4) Il existe donc un nombre réel non dénombré. La bijection est un échec, l'ensemble R s'avère être plus grand que N.
5) On ne peut pas rattrapper l'oubli en attribuant un numéro à ce nombre, puisque si on reprend de façon récurrente les étapes 2 - 3 - 4, on s'aperçoit qu'il y a une infinité de nombres oubliés !
Si à ce stade j'ai mal dit les choses, n'hésitez surtout pas à me corriger car la suite dépend de cette explication.

Je suis d'accord pour dire que le nombre issu de la diagonale de Cantor (que j'appelerai x) est différent de tous les autres. Je suis d'accord avec la suite du raisonnement : x n'a pas été dénombré, et donc l'ensemble R qui inclut x n'est pas dénombrable. Je suis d'accord pour dire qu'il existe potentiellement une infinité de x.

Là où je ne suis pas d'accord, c'est tout simplement de dire que x est un nombre réel. Pourquoi ? Comment ? En quel honneur ?
A aucun moment Cantor explique comment il sait que x est réel. Or rien ne nous permet de l'affirmer.
Parce que x est défini comme étant un nombre ? Il existe des nombres qui ne sont pas réels.
Parce que x a une définition claire et nette ? Le nombre i est clairement défini comme ayant un carré égal à -1, il n'est pas réel pour autant.
Parce que x n'a pas de partie imaginaire ? Les nombres complexes ne sont pas définis comme constituant le seul ensemble possible et imaginable qui inclut des nombres non réels.

Au contraire, x est défini comme étant différent de tous les réels, et ce jusqu'à l'infini. C'est plutôt tentant d'en déduire logiquement que x n'est pas réel. x peut très bien exister mais dans un autre ensemble que R. C'est le cas pour i, alors pourquoi pas x ?
Faire entrer x dans l'ensemble des réels provoque un paradoxe : le cardinal de l'ensemble des réels devient plus grand que lui-même (puisqu'on inclut après coup des nombres sortis de nulle part), et donc je suis d'accord avec Cantor : partant de tels postulats, le cardinal des réels ne risque pas d'être dénombrable !

En analysant les démonstrations diverses et variées postées dans ce sujet, on voit bien que pour tous il est implicite que x est réel. Mais c'est pour moi un paradigme qui est responsable des paradoxes qui sont à l'origine de ce débat.
Et je trouve que la remarque de nodgim, disant qu'on peut appliquer le raisonnement de la diagonale de Cantor à l'ensemble N et en conclure qu'il n'est pas dénombrable, est tout-à-fait pertinente et permet de poser le doigt sur le problème. (Il faut savoir que ce post est suivi de 2 types de réponses : "N est par définition dénombrable, donc le raisonnement de la diagonale de Cantor ne peut lui être appliqué" !! Ben si ! On peut appliquer le raisonnement ; c'est conclure qu'il n'y a pas d'absurdité cachée dans ce raisonnement qu'on ne peut pas faire ! et "Les entiers naturels sont tous des nombres finis, la diagonale de Cantor est un nombre infini, elle ne peut donc pas être un entier naturel". Alors là, quel scoop ! Les entiers naturels sont TOUS des nombres finis ? Même en mettant une infinité de zéros devant ? Pouvez-vous citer vos sources (fiables de préférence) ?).

Conclusion : ce n'est pas du tout le raisonnement que je remets en cause, mais un postulat implicite (dont il est possible que Cantor n'ait pas eu conscience).
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer :
- soit comment x fait pour être un réel ;
- soit comment la démonstration de la diagonale de Cantor fait pour tenir la route si on renonce à dire que x est réel.

Par pitié, pas d'argument d'autorité du genre "Cantor était un génie donc il est infaillible". Je suis convaincu que Cantor est l'un des plus brillants mathématiciens connus, mais même les génies peuvent parfois rater un détail. Et je ne prétend en aucun cas être plus malin que lui, la preuve : j'ai conscience que mon niveau en mathématiques est largement inférieur au sien, sinon je ne prendrai pas la peine d'expliquer en détail mes doutes.
SVP, pas d'argument de fréquence non plus, du type "une majorité de gens pense qu'il n'y a rien à redire à la démonstration de Cantor, donc c'est que c'est vrai". Tout débat stérile qui ne répondra pas à ma question de fond ne ferait que renforcer chacun dans ses convictions et stériliserait le débat.

J'espère sincèrement que vous comprendrez l'origine de mes doutes et m'apporterez une réponse qui en tienne compte.
Encore une fois, je le martèle, je suis entièrement d'accord avec le raisonnement mais pas avec un des postulats. Et je me fiche au fond de savoir si R est effectivement dénombrable ou pas ^^.

Attendant vos réponses. neutral

 #131 - 17-05-2012 02:16:24

ThomasLRG
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diagonale se cantor

moriss a écrit:

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer :
- soit comment x fait pour être un réel ;

Pour ça il faut d'abord comprendre la chose suivante : 0,98374987398...
n'est pas un nombre réel, ce n'est que la représentation d'un nombre réel.

Mais alors si 0,983474... n'est pas un nombre, c'est quoi ? Il suffit de se pencher sur la définition (restreinte à un réel de [0,1] ce qui est le cas dans la démonstration de Cantor):

définition :
Soit [latex](a_n)_{n>0}[/latex] une suite de nombres compris entre 0 et 9 compris.
Alors la série [latex]\sum_{n>0} a_n/10^n[/latex] est convergente.
Si x est la somme de cette série alors on appelle [latex]0,a_1 a_2 a_3...[/latex] l'écriture décimale de x

Avec cette définition, on peut démontrer les choses suivantes :
- tout nombre réel de [0,1[ admet une écriture décimale
- cette écriture n'est pas toujours unique (ce qui en fait une raison suffisante pour ne pas confondre nombre réel et sa représention)
- à toute écriture décimale est associé un unique réel de [0,1]

Ce dernier point vient immédiatement de la définition. Il est vrai qu'il y a un peu d'entourloupe là dedans, puisque cette définition contient elle-même une propriété que je n'ai pas démontré ici, à savoir que la série est convergente.
Le fait que x soit reel vient de cette phrase, donc si ces mots te parlent, il te reste à chercher à démontrer qu'elle converge bien (il suffit de borner le terme général par les termes d'une suite géométrique).
Si par contre ils te sont étrangers, il te reste à accepter l'argument d'autorité ou à potasser un cours sur les séries ^^.

Toujours est-il, pour revenir à Cantor, le nombre construit à partir de la diagonale est bien un nombre réel, par définition même de l'écriture décimale. Et soit dit en passant, je doute que la définition de la réprésentation décimale lui ai échappé :p.

 #132 - 17-05-2012 10:22:55

nodgim
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Diagonale dde Cantor

A ThomasLRG:
Je sais que la diagonale de Cantor ne se construit pas avec les nombres réels dans l'ordre, tu ne m'apprends rien. Merci pour l'explication de la diagonale, mais je l'ai comprise depuis la 1ère fois que je l'ai lue. Et elle m'a longtemps parue imparable. C'est plus tard que j'ai eu des doutes...

Une question: Pour toi, 0.000....0001 est elle une écriture qui te semble légitime pour un nombre réel ?

 #133 - 17-05-2012 12:52:33

ThomasLRG
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diaginale de cantor

A ma connaissance, l'utilisation de points de suspension pour écrire un nombre (qu'ils soient à la fin ou en plein milieu) n'a pas de définition permettant à un lecteur de savoir précisement de quoi on parle.
Les  points de suspension sont un abus de notation utilisé lorsqu'on ne veut/peut pas écrire qq chose. Leur signification est donc sujette à l'interprétation du lecteur.

Personnellement quand je lis 0,000...00001, je ne vois pas beaucoup d'ambiguité sur ces points de suspensions qui signifient surement "on rajoute pleins de 0".

Par contre j'ai bien l'impression que je ne lis pas le même nombre que celui dont tu voudrais parler. Quand je lis ton message précédent, les points de suspensions signifierais une infinité de 0 et ça, ça n'a clairement pas de sens.

Je te renvoies à mon message #131 où je donne une définition de l'écriture décimale. L'écriture décimale d'un réel, c'est une suite de chiffres. De deux choses l'une, ou bien le chiffre 1 apparait dans cette suite, auquel cas on peut en déterminer son rang (et donc les points de suspensions ont un nombre fini de 0). Ou bien le chiffre 1 n'apparait pas dans cette suite et la question de ne se pose plus alors.

Autre manière de voir, qui je pense colle plus à ton intuition (fausse) de l'existence d'un tel nombre.
Considérons la suite [latex]u_n = 10^{-n}[/latex] pour n>0
alors (u_n) correspond à la suite des nombres 0,1   0,01   0,001   0,0001 etc...
Si cette suite converge alors sa limite aura peut etre la légitimité pour être pensé comme une infinité de 0 suivi d'un 1.
Cette suite converge bien, mais sa limite est 0. Donc le seul nombre qui aurait la légitimité pour s'écrire 0,00...0001 avec une infinité de 0 serait 0. Attention, même si on pourrait s'amuser à lui donner un sens (qui reviendrait à poser 0,00...001 = 0) , cette écriture ne sera jamais un écriture décimale.

 #134 - 17-05-2012 13:12:54

Vasimolo
Le pâtissier
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Diagonale dde Cantor

Ce fameux nombre [latex]0,000000\cdots1[/latex] serait le plus petit élément de [latex]]0;\infty[[/latex] qui , il faut le rappeler n'existe pas .

Vasimolo

 #135 - 17-05-2012 16:20:13

Moriss
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Daigonale de Cantor

Je répond à la réponse de ThomasLRG à mon 1er post :
J'ai beaucoup apprécié ta réponse qui était claire et convaincante. Mais comme j'ai l'esprit de contradiction big_smile j'ai testé ta définition et quelques zones d'ombre semblent demeurer.
Cette définition des nombres décimaux est en fait une définition par élimination :
1) On les définit selon une suite qui ne fait pas intervenir i ; ils ne sont donc pas complexes a priori.
2) On montre que cette suite est convergente. En fait l'intérêt de la chose est de s'assurer que la suite ne diverge pas, c'est-à-dire ne "fonce" pas vers l'infini qui n'est pas réel. Les nombres décimaux ne sont donc pas égaux à l'infini.
3) On a éliminé les nombres complexes et les infinis, on ne connais pas d'autre nombre non réel à éliminer, donc on en conclue que les nombres décimaux sont réels. Il s'agit bien d'une démonstration par élimination.

Oui mais voilà, Cantor aurait-il créé malgré lui un contre-exemple ? Je m'explique.
1e explication :
NB : je vais dire "la suite de Cantor" au lieu de "la diagonale de Cantor", c'est plus pratique.
1) La suite de Cantor semble tendre vers un nombre réel.
2) Mais prolongée à l'infini, cette suite n'atteint jamais son point de convergence car, par définition, il y aura toujours un petit changement de décimale de dernière minute.
3) Donc la suite de Cantor n'est pas convergente.
4) Elle se comporte différemment des nombres décimaux, elle est donc d'une autre nature.

Alors, bien sûr, on peut se dire que cette suite est convergente à un infini supérieur à celui que j'imagine "d'instinct". Faisons cette hypothèse.
2e explication :
1) Il est très important de noter que la suite de Cantor se définit par une inégalité, et non par une égalité.
2) Prolongée indéfiniment, elle tend vers cette inégalité.
3) Soit x la valeur de la suite, et x' le point de convergence. x' est un nombre décimal qu'on peut donc supposer réel.
La suite tend vers x≠x' ; ce qui ne permet pas de conclure que x est réel.

Peut-on éclairer ma zone d'ombre ? yikes

 #136 - 17-05-2012 17:23:11

nodgim
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Diaognale de Cantor

Voyons, le 1er point (virtuel) ne peut être 0, par définition. Il est fuyant, on ne peut le fixer, je le comprends bien, mais on peut toujours tenter de l'écrire d'une manière ou d'une autre: 0.0..01 pourrait être la représentation du 1er point après le 0.
Encadrer une infinité d'objets entre 2 bornes, ça existe, il y a justement, par exemple, une infinité de nombres entre 0 et 1.

 #137 - 17-05-2012 17:54:44

ThomasLRG
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Diagonale d Cantor

Réponse à Moriss :

moriss a écrit:

Cette définition des nombres décimaux est en fait une définition par élimination :

Attention au vocabulaire, puisque les réponses à tes questions se trouve justement dans les détails des définitions de ce dont on parle.
Notamment ici, je n'ai pas défini les nombres décimaux, ni les nombres réels d'ailleurs (un nombre décimal est un nombre qui admet un nombre fini de décimales non nulles, ce qui n'est pas le cas de tous les réels). J'ai défini "l'écriture décimale des nombres réels compris entre 0 et 1". Les nombres réels eux préexistent à leur écriture, avant de pouvoir les représenter il faut déjà les construire (ce qui au passage est bien plus difficile que la définition que j'ai donnée ^^)


1) On les définit selon une suite qui ne fait pas intervenir i ; ils ne sont donc pas complexes a priori.

Evidemment, l'écriture décimale telle que je l'ai donnée ne permet pas de représenter tous les nombres complexes, mais uniquement les nombres réels compris entre 0 et 1. Attention toutefois, tous les nombres réels sont des nombres complexes (l'inverse n'étant pas vrai). Donc de dire qu'il ne sont pas complexes est incorrect, j'imagine que tu voulais plutot dire que leur partie imaginaire est nulle, ce qui est vrai.

2) On montre que cette suite est convergente. En fait l'intérêt de la chose est de s'assurer que la suite ne diverge pas, c'est-à-dire ne "fonce" pas vers l'infini qui n'est pas réel. Les nombres décimaux ne sont donc pas égaux à l'infini.

Attention avec la convergence d'une suite, une suite qui diverge ne fonce pas nécessairement vers l'infini. Par exemple, la suite 0 1 0 1 0 1 ... diverge.
De plus la phrase "les nombres décimaux ne sont pas égaux à l'infini" n'a pas de sens et je ne vois pas ce que tu peux bien vouloir dire par là.

Pour l'anecdote, la notion de convergence d'une suite est si subtile que Cauchy, l'un des premiers à l'avoir formalisé, a fait une "erreur". En fait il a donné une définition de la convergence d'une suite qui est séduisante intuitivement mais qui ne remplie pas un role essentiel qu'on attend de la convergence, à savoir : une suite qui converge suivant la définition de Cauchy n'a pas forcément de limite ! Finalement on a adapté sa définition pour obtenir la version moderne qui n'a pas ce problème. Malgré cela, la convergence au sens de Cauchy est une notion très utile et permet notamment de construire les nombres réels à partir des rationnels.

3) On a éliminé les nombres complexes et les infinis, on ne connais pas d'autre nombre non réel à éliminer, donc on en conclue que les nombres décimaux sont réels. Il s'agit bien d'une démonstration par élimination.

Il n'est surtout pas question de dire que "on a trouvé un nombre, il n'est pas de type a, il n'est pas de type b donc il est de type c", surtout pas ! Et comme dit plus haut, je rappelle que l'écriture décimale
Lorsqu'on définit l'écriture décimale, on ne sort jamais du cadre restreint des nombres réels. On travaille avec une série dont les termes sont des nombres réels et si cette série converge, par définition de la convergence d'une série (en lien justement avec l' "erreur" de Cauchy), alors la somme est un nombre réel.
Encore une fois c'est une problème de définition.


2) Mais prolongée à l'infini, cette suite n'atteint jamais son point de convergence car, par définition, il y aura toujours un petit changement de décimale de dernière minute.

Une suite ne se "prolonge pas à l'infini", c'est un contresens. Par définition (désolé :p), une suite est un ensemble indexé par les entiers naturels. Même si le mot français peut faire penser à autre chose, une suite, c'est l'ensemble tout entier des valeurs de cette suite.
Ainsi, "prolonger une suite" n'a pas de sens. Au moment où on définit une suite, tous les éléments sont déjà défini, ils ne se découvrent pas les uns à la suite des autres.

En particulier, si je reprends la démonstration que j'avais entamée.
On avait f : N -> ]0,1[ une bijection.
On définit alors la suite [latex](a_n)_{n>=0}[/latex] par [latex]a_n= E( f(n) \cdot 10^{n+1}) mod 10[/latex] pour tout n >= 0 (E designant la partie entière)
Je te laisse vérifier que a_n correspond bien au chiffre sur la diagonale.
Alors le nombre correspondant à l'écriture décimale [latex]0,a_0 a_1 a_2...[/latex] et bien défini. Les pointillés sont trompeurs car ils semblent dire qu'on ne connait pas les chiffres suivants, ou alors qu'on les découvre au fur et à mesure qu'on écrit le nombre. Mais non, ils y sont tous, pas un de manque et cette écriture défini (d'après la définition que j'ai cité) un unique réel.

 #138 - 17-05-2012 22:27:45

Moriss
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Diagonale de Canntor

Bon déjà, je confirme les petites corrections de Thomas :
J'aurais dû dire "écriture décimale" et non "nombres décimaux".
J'aurais dû dire "partie imaginaire nulle" et non "nombre non complexes" (en plus je sais que R appartient à C).
J'aurais dû dire "la somme qui sert ici à définir l'écriture décimale est différente de l'infini, donc cette somme donne un nombre autre que l'infini".

Je crois que c'est tout pour les détails... Ah non ! J'oubliais :

"On peut définir la suite des décimales de la diagonale de Cantor par :
a(n) = E [f(r) . 10^(n+1)] mod10"
J'ai remplacé le petit n par r car sinon il y avait confusion entre le n de "f(n)" et le n de "10^(n+1)".

Sinon, je suis d'accord avec Thomas : je n'avais pas fait attention au fait que la suite était constituée de nombres réels, donc sa somme était réelle sauf preuve du contraire (qui était évitée par la démonstration de la convergence). Bien vu.
Du coup, je ne vois rien à dire pour l'instant.
Thomas wins the first round by KO ! lol

Au revoir...

Ah oui ! Juste avant de partir, une petite histoire :
C'est l'histoire (assez célèbre) d'un barbier qui rase tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes. Les logiciens qui l'ont imaginé avaient conclu qu'un tel barbier ne pouvait exister car sinon cela générait un paradoxe :
Soit le barbier ne se rase pas lui-même, et dans ce cas il se fait raser par lui-même ;
soit le barbier se rase lui-même, et dans ce cas il ne se rase pas lui-même.
Maintenant, grâce aux matheux, je sais qu'il n'y a aucun paradoxe ! Le barbier existe, c'est juste que le nombre de personnes qui ne se rasent pas elles-mêmes est indénombrable !
Aaaah, qu'est-ce qu'on ferait s'il n'y avait pas les maths ?

PS : je tiens à signaler que cela est dit sur le ton de l'humour. smile

 #139 - 19-05-2012 08:43:25

nodgim
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iDagonale de Cantor

Comme je commence à bien appréhender l'infiniment petit tel qu'il est connu aujourd'hui, les 1000 entiers de 1 à 1000 divisés par 10^infini finissent tous à 0 sans distinction: 0.0000.....
J'aurais pris le premier milliard que ça n'aurai rien changé: tous à zéros.
Je vois, je vois...

 #140 - 20-05-2012 16:44:06

nodgim
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Diagonale de Canor

Vasimolo a écrit:

Ce fameux nombre [latex]0,000000\cdots1[/latex] serait le plus petit élément de [latex]]0;\infty[[/latex] qui , il faut le rappeler n'existe pas .

Vasimolo

Oui, et Thomas a raison d'en contester l'écriture, c'est pas un nombre, c'est au mieux une limite, il est fuyant et pas stabilisé.
Mais on peut tout de même raisonner avec comme si. En fait, ces nombres fuyants sont les bouche-trous des nombres réels. Il y en a toujours une infinité entre 2 réels.

 #141 - 21-05-2012 10:29:00

rivas
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Diagoale de Cantor

MthS-MlndN a écrit:

La notion de paradoxe découle de celle de "sens commun".

Ce qui heurte le sens commun, c'est qu'une partie d'un ensemble compte "autant d'éléments" que l'ensemble lui-même. En revanche, le fait que [latex]f[/latex] soit une bijection entre [latex]\mathbb{N}[/latex] et [latex]\mathbb{A}[/latex] implique directement que les deux ont le même cardinal, par définition. Le cardinal n'est pas le nombre d'éléments.

Je trouve que cette question est un bon critère, filtre ou crible.
Tous ceux qui trouvent qu'elle est paradoxale ont une difficulté avec l'infini dénombrable et peuvent donc relire toutes les discussions sur ce sujet smile

Au fait, il y a eu une énigme (assez complète) sur l'Hotel de l'infini.

 #142 - 21-05-2012 10:48:23

rivas
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Diagonlae de Cantor

Je trouve qu'on reboucle un peu dans la discussion depuis quelques posts.
Beaucoup à déjà été dit, beaucoup est maintenant répété.

Il est légitime de se poser des questions sur les nombres et sur l'infini mais le niveau des questions dépasse à mon avis ce qui peut être traité ici. On est au niveau Sup-Spé et la plupart des questions vient plutôt d'un manque de bagage ou de rigueur mathématique.

Par exemple l'écriture 0,000....0001 n'a aucun sens mathématique bien qu'elle utilise des symboles habituellement utilisé en mathématiques. Elle n'a pas plus de sens que racine(-1) ou 0/0. Batir des raisonnements sur cette écriture n'a aucun sens et on ne pourrait pas batir ces raisonnements avec des constructions mathématiques valides. On parle donc beaucoup pour ne rien dire ou pour parler sur des non-sens.

Revenir à la définition de ce qu'est un réel ou même si une écriture décimale définit un réel est simplement du cours. La convergence est évidente (suite croissante majorée) et l'aspect réel de la limite aussi (R est complet), c'est simplement "du cours" (c'est à dire des définitions et des théorèmes classiques de maths). D'une discussion intéressante on bascule dans du questionnement de tout et n'importe quoi (à lire sans jugement de celui qui les pose mais en essayant se plaçant à la place de celui qui les lit).

Je pense que tous ces sujets sont déjà très bien traités soit dans un bon cours de maths soit sur Wikipedia (j'ai d'ailleurs essayé de donner des liens tout au long de la discussion). Je ne vois pas bien l'interêt de remettre en cause toutes les maths à moins que cela soit dans le but de comprendre mais est-ce bien le lieu et la méthode pour le faire?

Chaque question va apporter encore plus de questions et on va se retrouver à faire une partie significative du cours de sup/spé.

Bon, j'espère n'avoir heurté personne, ce n'est pas du tout le but mais je me perds dans ce fil...

 #143 - 21-05-2012 11:16:33

MthS-MlndN
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iDagonale de Cantor

Ca ne me heurte pas, mais c'est un bon rappel.

Si ça ne tenait qu'à moi, je fermerais ce topic sur ces mots de bon sens smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #144 - 21-05-2012 18:47:42

nodgim
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Diagonle de Cantor

Je reste sur ma faim pour cette diago, vous savez.
Cantor a prouvé en fait qu'il existait plus de réels que le nombre de chiffres des réels. On s'en serait douté. Etant donné que la nature même de la numérotation décimale (ou d'une autre base) consiste à compacter le comptage.


J'ai lu tantôt que les nombres premiers n'étaient pas dénombrables (Godel ou Russell, je crois). ça m'a surpris. Je le comprends comme une impossiblité de bijecter avec N. C'est étrange cette question de dénombrable.

 #145 - 21-05-2012 19:00:22

rivas
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Diagonal de Cantor

Tu as du mal lire smile
Les nombres premiers sont bien sûrs dénombrables comme les éléments de tout ensemble infini inclus dans N (il faut peut-être l'axiome du choix pour cela, pas sûr).
Tu as du lire qu'ils sont en nombre infini peut-être?

 #146 - 21-05-2012 20:03:56

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Diagonael de Cantor

Il n'en demeure pas moins que la possibilité d'une bijection entre N et l'ensemble des nombres premiers n'est à ce jour toujours pas démontrée...


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #147 - 21-05-2012 20:07:52

nodgim
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diafonale de cantor

rivas a écrit:

Tu as du mal lire smile
Les nombres premiers sont bien sûrs dénombrables comme les éléments de tout ensemble infini inclus dans N (il faut peut-être l'axiome du choix pour cela, pas sûr).
Tu as du lire qu'ils sont en nombre infini peut-être?

Ce que j'ai lu (rapporté d'un autre forum):
"Godel en 1931 introduit un 3ème infini , celui des nombres premiers en appliquant Russell aux infinis de Cantor. Il montre que l'infini des nombres premiers, plus petit que celui des entiers naturels est indénombrable comme celui des réels, mais que c'est bien un infini différent car il n'y a pas "la même distance" entre P et N qu'entre N et R."

Mais bon, je n'ai pas vérifié l'exactitude de la retranscription.

 #148 - 21-05-2012 20:32:10

Clydevil
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diagonalr de cantor

Je vois ce troll, enfin ce thread évoluer de jour en jour :p
Bon la ce soir je voulais ajouter mon grain de sel, ça fera un post de plus que le prochain à poster pourra ne pas lire pour ajouter son post et faire grossir le troll :p

Il n'en demeure pas moins que la possibilité d'une bijection entre N et l'ensemble des nombres premiers n'est à ce jour toujours pas démontrée...

Ça je n'ai pas compris, ce ne serait pas que "personne n'a exhibé à ce jour de fonction explicite donnant rapidement le n-ieme nombre premier?".
Parce que bon sinon l'existence d'une bijection entre les entiers et les nombres premiers c'est trivial la fonction qui à n associe le n-ieme nombre premier.

Ce que j'ai lu (rapporté d'un autre forum):
"Godel en 1931 introduit un 3ème infini , celui des nombres premiers en appliquant Russell aux infinis de Cantor. Il montre que l'infini des nombres premiers, plus petit que celui des entiers naturels est indénombrable comme celui des réels, mais que c'est bien un infini différent car il n'y a pas "la même distance" entre P et N qu'entre N et R."

Mais qu'est ce que c'est que cette horreur?
Soit ils parlent totalement d'autre chose (auquel cas on revient à ce que plusieurs ont dit sur la valeur des choses sans définition) soit ils fument de la moquette double couche.

Au sens des cardinaux, c'est à dire en considérant que des ensembles sont de même taille lorsqu'il existe une bijection entre eux. (ce dont il est question depuis le début dans ce thread) il y a trivialement autant d'entiers que de nombre premiers.  Mais également autant d'entiers que de nombre pair, et que de cube de nombre premier si ça vous chante. Les bijections sont triviales.

Après on peut se poser la question du cardinal intermédiaire entre ce qu'on note H0 (la taille de l'infini des entiers) et H1 (se dit aleph1) (l'infini des réels). En d'autre terme on se demande si on pourrait construire un ensemble M en surjection avec les entiers et telque les réels soient en surjection sur M. Cette question se nomme l'hypothese du continue
http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypoth%C3%A8se_du_continu
Dans ZFC (en résumé dans la théorie mathématique moderne) cette hypothèse est indémontrable, ie c'est a dire qu'on peut admettre qu'il en existe un ou admettre qu'il n'en existe pas et l'un comme l'autre n'engendrera aucune contradiction avec les axiomes de ZFC. (je vous renvoie à mon bestiaire mathématique la dessus dans blabla).

Je reste sur ma faim pour cette diago, vous savez.

He bien comme plusieurs dont moi on dit plusieurs fois, si tu ne partais ni perdant ni flemmard :p et qu'au contraire tu partais du principe que ce qui est maintenant admis est a priori au moins intéressant tu pourrais regarder ce que veut dire une "bijection" ce que veut dire avoir la meme taille et relire la démonstration de Cantor (jen ai posté une normalement très abordable mais je ne suis pas le seul) et tu verrais que c'est limpide.

Cantor a prouvé en fait qu'il existait plus de réels que le nombre de chiffres des réels.

Ça ne veut rien dire du tout cela, si?

J'ai lu tantôt que les nombres premiers n'étaient pas dénombrables

Heu ca en plus d’être dinguo ça devrait te faire crier.  Les nombres premiers sont clairement inclus dans les nombres entiers, comment pourrait il y en avoir plus au sens des cardinaux?
Bien sur que c'est dénombrable et trivialement, tu les numérote un par un au fur et à mesure que tu les rencontre tu passeras par chacun d'entre eux....

 #149 - 21-05-2012 23:26:18

SHTF47
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siagonale de cantor

A propos de mon dernier message :

Clydevil a écrit:

Ça je n'ai pas compris, ce ne serait pas que "personne n'a exhibé à ce jour de fonction explicite donnant rapidement le n-ieme nombre premier?".
Parce que bon sinon l'existence d'une bijection entre les entiers et les nombres premiers c'est trivial la fonction qui à n associe le n-ieme nombre premier.

En effet, c'est plutôt ce que je voulais dire. Mais comme tu dis, créer la bijection dont tu parles est tout à fait trivial. Du coup ma remarque n'avait rien à faire ici... Merci d'avoir corrigé smile


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #150 - 22-05-2012 09:56:45

rivas
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Diagonale e Cantor

J'allais dire la même chose smile

La bijection est totalement triviale et la même bijection triviale existe pour tout ensemble infini inclus dans N: à i on associe le i-ème élément de l'ensemble.
Donc tout ensemble infini inclus dans N est dénombrable.
C'est ce que je disais dans ma remarque plus haut.
Donc cette histoire de non-dénombrabilité des premiers c'est n'importe quoi AVEC nos axiomes.

En effet pour définir cette bijection triviale, il faut utiliser l'axiome du choix (voir Wikipedia et mes posts précedents). L'axiome du choix affirme la possiblité de pouvoir toujours choisir un élément d'un ensemble infini.
C'est très subtil tout cela... La logique et la théorie des ensembles, c'est encore plus délicat que l'infini. D'une certaine manière, je dirais que l'infini est inclus dans la théorie des ensembles.

Il est possible qu'à l'époque de la discussion de Godel, l'axiome du choix ne fut pas encore totalement accepté ou considéré naturel.

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