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 #1 - 22-10-2013 20:18:49

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2778
Lieu: Luxembourg

Fausse prémmonition

Voici un petit truc que j'ai vu dans un journal allemand et qui m'a un peu surpris.
Il est sans doute très connu et peut-être même sur ce site (auquel cas ce topic sera supprimé pour ne pas faire double emploi).

On place N points sur un cercle que l'on joint 2 à 2 pour former toutes les cordes possibles. Combien de régions maximales sont ainsi délimitées dans le cercle ?

Pour 1; 2; 3; 4 et 5 points, on délimite ainsi respectivement 1; 2; 4; 8 et 16 régions.
Il semble bien que pour N points, on délimite ainsi 2^(N-1) régions. Ou pas !!!

La case-réponse valide le nombre de régions délimitées pour 6 points. Comme quoi,
il faut se méfier des conclusions hâtives.



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 #2 - 22-10-2013 21:56:02

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3324

Fauusse prémonition

Le raisonnement est un peu long mais j'ai trouvé une formule qui tombe à priori toujours juste :

Après moult calculs sur le nombre d'intersections [latex] \alpha[/latex] et le nombre de segments [latex]\beta[/latex] j'obtiens
[TeX]N=1-(\alpha-\beta)[/TeX]
Avec :
[TeX]\alpha=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}[/TeX][TeX]\beta=\frac{2n((6n+6)+(n-1)(n-2)(n-3))}{24}[/TeX]
On trouve donc [latex]N=31[/latex] pour [latex]n=6[/latex]

Shadock cool


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 22-10-2013 22:04:21

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3802
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Fausse prémonittion

Hum.... Il me semble bien l'avoir déjà vue, celle-là.
Et ce n'était pas ici : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=8008
Donc elle a déjà été publiée probablement plusieurs fois.

Mais ne supprime pas ton topic pour autant. Ça fait du bien de revisiter ce sujet.
Klim.

[Edit] En voilà un autre : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=4959


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #4 - 23-10-2013 00:54:54

JulesV
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 52

fausse prémonituon

La réponse est 31.

J'ai trouvé une méthode qui permet d'avoir le nombre de régions en fonction du nombre de points.

C'est pas élégant mais c'est la façon dont j'ai procédé.  smile

1/ Tout d'abord, la création d'un segment qui coupe n segments ajoute n+1 zones.
2/ Le cercle correspond à une zone qu'on rajoutera au total des zones à la fin.

(c'est un peu long)

Spoiler : [Afficher le message]
Soit un cercle de N points. Prenons un point quelconque, A. On peut le connecter avec N-1 points et créer ainsi 1 zone, puis une de plus, + 1, +1, ... soit n-1 zones car les segments ne se coupent pas (voici les zones rajoutés):

1
1
1
...
1
1
1

Prenons un point "adjacent" à A, B. On le connecte au point adjacent différent de A, C et on a 1 zone de plus. On continue et on le connecte à D. Or A est lié à C, donc le segement BD coupe un segment, on a donc 2 zones de plus. De la même façon, BE crée 3 zones de plus... :

1  1
1  2
1  3
1  4
...
1  N-3
1  N-2
1

On réitère l'algolrithme avec ceci de différent que les segement vont couper 0, puis 2, puis 4 segments et donc créer 1, 3, 5 zones. de plus. (car tous les points on été reliés à A et B):


1  1        1
1  2        3
1  3        5
1  4        7
.... ... ... ....
1  N-3     2N-7
1  N-2
1


Application avec N = 6:

Spoiler : [Afficher le message] 

nZ =30, avec la zone de départ, on a 31 zones.
1 1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 5
1 4
1


Je réfléchirai demain pour une formule générale. smile

PS: Un peu dans le même genre, intéressant. wink

http://www.prise2tete.fr/upload/JulesV-suite.png

 #5 - 23-10-2013 08:28:31

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

fausse prémonotion

Une curiosité qu'on a déjà vu passer par ici il y a longtemps, mais toujours aussi agréable smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 23-10-2013 14:44:56

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Fausse pémonition

Par le pouvoir de la brute-force, je dis : 31 !
Et en effet, l'énigme y est déjà sur P2T mais dans un autre sens ici.

Et la suite de la suite :
57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941, 2517, 3214, 4048, 5036, 6196, 7547, 9109, 10903, 12951, 15276, 17902
On retrouve 2^8 à la 10e place.

La formule qui génère cette suite est la suivante :
[latex]\frac{1}{24} \cdot (n^4 - 6{n^3} +23{n^2} - 18n  + 24)[/latex] avec n le nombre de points situés sur le cercle. Reste à le démontrer wink

Le n-ième élément et aussi la somme des 5 premiers termes de la n-ième ligne du triangle de Pascal.

 #7 - 25-10-2013 21:44:12

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3324

Fausse prémointion

Saban si tu veux j'ai la démonstration, mais j'ai la flemme d'écrire tout mon raisonnement ^^


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 25-10-2013 22:19:39

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2778
Lieu: Luxembourg

Fusse prémonition

Merci à tous d’avoir participé et trouvé 31.
L’erreur aurait été de répondre hâtivement 32.

La formule est donnée par: R(n)=C(n,4)+C(n,2)+1
avec: C(n,p)=n!/[p!*(n-p)!]
qui peut s’écrire, comme indiqué par SabanSuresh:
R(n)=(n^4-6.n^3+23.n^2-18.n+24)/24

Les formules de shadock semblent correctes (avec, sauf erreur de ma part,
un signe – à la place du + entre 6n et 6 pour béta).
A noter aussi l’intéressante bizarrerie mathématique indiquée par JulesV.

Pour n=1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;... on a: R(n)=1;2;4;8;16;31;57;99;163;256;...

 #9 - 25-10-2013 22:36:24

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3324

Fausse prémmonition

Je vérifierai mes calculs ^^
A vrai dire pour 6 j'ai fais un dessin et j'ai mis la réponse j'avais la flemme de faire le calcul ^^

C'est quoi ton bouquin allemand où il y avait ça? smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #10 - 26-10-2013 11:25:50

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Fausse prémonitin

shadock a écrit:

Saban si tu veux j'ai la démonstration, mais j'ai la flegme d'écrire tout mon raisonnement ^^

La flemme, tu veux dire ? Parce que jusqu'ici, on t'a connu plus flemmard que flegmatique big_smile

(Et en passant, ne traduis jamais "flegme" par "phlegm" en anglais. Je me suis fait avoir une fois... Plus jamais.)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 26-10-2013 13:15:39

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3324

fausse peémonition

Tu trouves que je suis flemmard parce que je n'ai pas fini les 49 énigmes?  C'est vrai que depuis 4 ans que je suis là c'est un peu la honte ^^


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #12 - 26-10-2013 19:33:09

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

fausse ptémonition

Non, non, c'est bon. Pas la peine si c'est long. De toute façon, j'y comprendrai quasiment rien lol

 

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