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 #26 - 05-04-2014 16:01:57

nolina
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 25
Messages : 17

Gâteau 7

Je pense que c'est impossible si deux côtés du triangle sont de la même couleur(rouge par exemple) et l'autre bleu et que l'angle formé par les deux côtés rouge est obtus (contrairementa au dessin du message 21).

#0 Pub

 #27 - 05-04-2014 23:04:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gâteau 7

@Nolina : le triangle est acutangle ( 3 angles aigus ) .
@Nodgim & Dylasse : le coloriage est quelconque : une application de la frontière du gâteau vers la paire de couleurs {bleu,rouge} . N'oublions pas que le problème est proposé par un groupe de géomètre qui ne se préoccupe pas forcément d'une réalisation concrète . On peut très bien imaginer par exemple que les points d'abscisse rationnelle sont bleus et les autres rouges .

Pour le moment personne ne s'approche d'une solution smile

Vasimolo

 #28 - 06-04-2014 09:53:23

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,472E+3

Gâteau 7

Avec le point de Lemoine du triangle, on construit un des deux triangles auto projetants :

Puis, on garde les pieds des hauteurs issues de 2 sommets du triangle de même couleur. (forcément de couleur opposée)

Dans le triangle BB-Hc de hauteur A-B-, A- et B- doivent donc être de couleurs opposées pour ne pas pouvoir faire un triangle rectangle.

Idem pour A- et C- à cause des points Hb et C.

B- et C- sont donc de même couleur. (bleue dans le cas présent.)

L'intégralité du segment BC (à part B-) doit donc être rouge. Cela oblige à mettre les deux autres segments en bleu ce qui laisse une grande marge pour tracer des triangles rectangle.

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g74bis.png

 #29 - 06-04-2014 10:01:38

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2954

Gteau 74

Si l'on inscrit un rectangle R dans le triangle T (1 coté C de R colinéaire avec 1 coté de T) alors un coté de R adjacent à C ne peut avoir les 2 sommets de même couleur. Sinon, avec 2 pts rouges sur un de ces cotés, l'autre coté doit forcément avoir 2 bleus, sinon on pourrait immédiatement tracer un triangle rectangle. Mais dans ce cas,  on aurait un coté à 2 pts rouges et un coté à 2 pts bleus, tous les 2 adjacents à C, et dans ce cas avec un pt quelconque bleu ou rouge sur C, on peut dessiner un triangle rectangle.

Toute perpendiculaire qui coupe un coté du triangle ne doit donc pas couper le 2ème coté du triangle avec un pt de même couleur.

Cependant, on peut inscrire dans T le triangle identique à T par les perpendiculaires aux cotés. Et dans ce cas, ce triangle inscrit comporte 3 sommets, donc forcément 2 de même couleur, ce qui contredit de fait la contrainte qu'on s'est imposée plus haut.   

On pourra donc tjs tracer un triangle rectangle monochrome.

 #30 - 06-04-2014 10:35:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

gâreau 74

@Gwen : c'est un peu compliqué mais c'est ça .
@Nodgim : je n'ai pas bien compris comment tu construis ton triangle inscrit , sinon c'est la bonne idée .

Vasimolo

 #31 - 06-04-2014 18:58:04

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,472E+3

Gtâeau 74

Le principe est bien de prouver que deux sommets de même couleur autorisent une hauteur de couleur opposée   ou il y a plus simple  ?

Ou alors c'est le choix de ma démonstration qui va chercher trop compliqué sur le même principe ?

 #32 - 06-04-2014 19:05:41

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gâtea 74

Non Gwen , ta démo est juste , je trouve simplement la justification un peu pesante . Je donnerai la mienne tout à l'heure , tu vas sans doute la trouver bien pire lollollol

Vasimolo

 #33 - 06-04-2014 19:07:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gâtea 74

Je donne ma solution qui ressemble beaucoup à celles de Gwen et Nodgim .

A partir du triangle [latex]ABC[/latex] on construit le triangle [latex]EFG[/latex] . La similitude qui amène [latex]EFG[/latex] en [latex]ABC[/latex] amène [latex]ABC[/latex] en [latex]IJK[/latex] .

http://img713.imageshack.us/img713/7941/ub77.jpg

Deux des trois sommets de [latex]IJK[/latex] ont la même couleur , on peut supposer sans perdre de généralité que [latex]I[/latex] et [latex]J[/latex] sont rouges .

http://img33.imageshack.us/img33/215/0x78.jpg

Mais alors tout point du segment [latex][AB][/latex] différent de [latex]I[/latex] forme un triangle rectangle avec [latex]I[/latex] et [latex]J[/latex] , il est donc bleu . Les points [latex]K[/latex] et [latex]C[/latex] se projettent orthogonalement sur un point bleu de [latex][AB][/latex] et comme [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] sont bleus , [latex]K[/latex] et [latex]C[/latex] sont rouges .

http://img819.imageshack.us/img819/9743/upwaf.jpg

Mais alors [latex]CJK[/latex] pose problème mad

Merci pour la participation smile

Vasimolo

 #34 - 06-04-2014 19:52:03

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,472E+3

Gteau 74

OK, j'aime ton raccourci pour construire IJK smile

 #35 - 06-04-2014 19:58:45

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2954

Gââteau 74

Vasimolo, le triangle bleu exterieur pourrait avoir ses cotés parallèles au triangle vert intérieur, ce serait plus lisible. C'est un peu comme ça que j'ai construit le triangle intérieur, mais bon la justification de son existence suffit.

 #36 - 06-04-2014 23:24:42

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

gâteai 74

On voit peut-être mieux le triangle dont tu parles Nodgim mais la justification de son existence est moins directe .

Vasimolo

 #37 - 12-04-2014 18:17:23

Tetris
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 1
Messages : 1

hâteau 74

Bonjour à tous!
 
  D'après moi ce n'est pas toujours possible!

  Si l'un des angles du triangle est obtu : En effet, il suffit de colorier les deux cotés issus de cet angle en bleu par exemple et l'autre en rouge. Alors un simple dessin suffit à ce convaincre qu'il est impossible d'y inscrire un triangle rectangle monochrome.

  Si en revanche le triangle est rectangle alors c'est toujours possible. C'est assez simple à voir en fixant la couleur du "sommet droit" en bleu par exemple et de regarder ce qu'il se passe si les autres sommets sont soit rouge-rouge soit rouge-bleu(il à grosso modo trois cas à traiter, quatre si l'on cherche la petite bête...). Je peux essayer de faire des dessins pour étayer mon propos si ça intéresse quelqu'un.

  Pour les cas des triangles aigus par contre je n'ai pas encore réussi à trancher pour l'instant... 

  Voilà voilà!

 #38 - 12-04-2014 18:29:58

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Gââteau 74

Bienvenu sur Prise2Tête, Tetris !
Le problème c'est justement de traiter le cas d'un triangle acutangle (c'est dans "l'énoncé").

 #39 - 12-04-2014 19:04:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

gâteai 74

@Tetris : tu es sans doute resté coincé sur la première page , il y a pas mal de développements du problème sur la deuxième smile

Vasimolo

 

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