@Nolina : le triangle est acutangle ( 3 angles aigus ) .
@Nodgim & Dylasse : le coloriage est quelconque : une application de la frontière du gâteau vers la paire de couleurs {bleu,rouge} . N'oublions pas que le problème est proposé par un groupe de géomètre qui ne se préoccupe pas forcément d'une réalisation concrète . On peut très bien imaginer par exemple que les points d'abscisse rationnelle sont bleus et les autres rouges .

Pour le moment personne ne s'approche d'une solution

Vasimolo

Si l'on inscrit un rectangle R dans le triangle T (1 coté C de R colinéaire avec 1 coté de T) alors un coté de R adjacent à C ne peut avoir les 2 sommets de même couleur. Sinon, avec 2 pts rouges sur un de ces cotés, l'autre coté doit forcément avoir 2 bleus, sinon on pourrait immédiatement tracer un triangle rectangle. Mais dans ce cas,  on aurait un coté à 2 pts rouges et un coté à 2 pts bleus, tous les 2 adjacents à C, et dans ce cas avec un pt quelconque bleu ou rouge sur C, on peut dessiner un triangle rectangle.

Toute perpendiculaire qui coupe un coté du triangle ne doit donc pas couper le 2ème coté du triangle avec un pt de même couleur.

Cependant, on peut inscrire dans T le triangle identique à T par les perpendiculaires aux cotés. Et dans ce cas, ce triangle inscrit comporte 3 sommets, donc forcément 2 de même couleur, ce qui contredit de fait la contrainte qu'on s'est imposée plus haut.   

On pourra donc tjs tracer un triangle rectangle monochrome.

Le principe est bien de prouver que deux sommets de même couleur autorisent une hauteur de couleur opposée   ou il y a plus simple  ?

Ou alors c'est le choix de ma démonstration qui va chercher trop compliqué sur le même principe ?

Je donne ma solution qui ressemble beaucoup à celles de Gwen et Nodgim .

A partir du triangle $ABC$ on construit le triangle $EFG$ . La similitude qui amène $EFG$ en $ABC$ amène $ABC$ en $IJK$ .



Deux des trois sommets de $IJK$ ont la même couleur , on peut supposer sans perdre de généralité que $I$ et $J$ sont rouges .



Mais alors tout point du segment $[AB]$ différent de $I$ forme un triangle rectangle avec $I$ et $J$ , il est donc bleu . Les points $K$ et $C$ se projettent orthogonalement sur un point bleu de $[AB]$ et comme $A$ et $B$ sont bleus , $K$ et $C$ sont rouges .



Mais alors $CJK$ pose problème

Merci pour la participation

Vasimolo

Vasimolo, le triangle bleu exterieur pourrait avoir ses cotés parallèles au triangle vert intérieur, ce serait plus lisible. C'est un peu comme ça que j'ai construit le triangle intérieur, mais bon la justification de son existence suffit.

Bonjour à tous!
 
  D'après moi ce n'est pas toujours possible!

  Si l'un des angles du triangle est obtu : En effet, il suffit de colorier les deux cotés issus de cet angle en bleu par exemple et l'autre en rouge. Alors un simple dessin suffit à ce convaincre qu'il est impossible d'y inscrire un triangle rectangle monochrome.

  Si en revanche le triangle est rectangle alors c'est toujours possible. C'est assez simple à voir en fixant la couleur du "sommet droit" en bleu par exemple et de regarder ce qu'il se passe si les autres sommets sont soit rouge-rouge soit rouge-bleu(il à grosso modo trois cas à traiter, quatre si l'on cherche la petite bête...). Je peux essayer de faire des dessins pour étayer mon propos si ça intéresse quelqu'un.

  Pour les cas des triangles aigus par contre je n'ai pas encore réussi à trancher pour l'instant... 

  Voilà voilà!

@Tetris : tu es sans doute resté coincé sur la première page , il y a pas mal de développements du problème sur la deuxième

Vasimolo