Je penche pour la chance.

le rapport n/m = x fraction irréductible (n et m entiers)  est constant entre deux longueurs.

Donc a est un multiple de m^3 et d est un multiple de n^3 (le même multiple)

m^3 sera répété au moins 6 fois donc m < 5
Pour avoir un rapport inférieur au nombre d'or (x^2 -x -1 <0) on peut aussi éliminer les départ à m=1

On aura L = m^3 + 2n m^2 + 2m n^2 + n^3
Il reste donc :
m= 2 n=3
m=2 n=4
m=2 n=5
m=2 n=6
m=2 n=7
m=3 n=4
m=3 n=5
m=3 n=6
m=3 n=7
m=4 n=5
m=4 n=6


Avec le rapport phi comme limite, il ne reste que :
m=2 n=3 L = 95
m=3 n=4 L = 259
m=4 n=5 L = 549 (hors jeu )
m=4 n=6 (on peut donc  l'éliminer )

Il reste à voir que doubler 259 ne marche pas et que les plus proches multiples de 95 sont 380 et 475.

Pas de solution.

Que du bon

Beaucoup ont remarqué qu'avec ses 4m de ruban le pâtissier n'avait le choix qu'entre deux formes de gâteaux .

Vasimolo

Tout a été dit ou presque .

Les côtés du petit gâteau : a<b<c , donc pour le grand : ka<kb<kc avec k>1 . Mais alors b=ka et c=k²a donc les deux gâteaux : a<ka<k²a et ka<k²a<k³a . L'inégalité triangulaire nous dit que k²-k-1<0 donc 1<k<1,62 ( le nombre d'or pour être plus précis ) .

Le rapport k est rationnel k=p/q ( irréductible ) et a est un multiple de k³ la longueur de ruban utile est donc multiple de L=a(1+2k+2k²+k³)=n(p³+2p²q+2pq²+q³) .

Comme p>q , L>p³+5q³>400 si q>3 . Il ne reste donc que deux possibilités pour k : 3/2 et 4/3 qui nous donnent les gâteaux , n.(8 ; 12 ; 18 ; 27) et n.(27 ; 36 ; 48 ; 64)  donnant les plus petits restes :

R(32 ; 48 ; 72 ; 108) = 20 et R(27 ; 36 ; 48 ; 64)=141 .

On est largement au-delà des 10 cm proposés par le pâtissier .

On peut ne pas apprécier la formulation de l'énigme qui laissait entendre que le problème avait une solution , personnellement j'aime bien

Un grand merci à tous les participants

Vasimolo