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 #26 - 27-12-2014 21:51:26

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4756

Gteau 86

A ton avis ?

Vasimolo

#0 Pub

 #27 - 28-12-2014 01:06:33

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Gâetau 86

Je penche pour la chance.


Un promath- actif dans un forum actif

 #28 - 28-12-2014 10:25:28

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

Gâteau 886

salut.

il n'existe pas de solution avec un morceau de ruban <10 cm.

en effet le petit côté n<66  puisque si n=66 , k=1  et les 2 triangles sont égaux et équilatéraux.

n doit aussi être de la forme  a^3 x b   et les seuls nombres de cette forme sont:  8 , 16 , 24 , 27 , 32 , 40 , 48 , 54 , 56 , 64 , et les valeurs de q possibles sont :3/2  &  4/3 . ce qui fait 20 configurations.

aucune ne donne un ruban <10 et 2 triangles constructibles.

 #29 - 28-12-2014 10:45:25

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,538E+3

Gâtteau 86

le rapport n/m = x fraction irréductible (n et m entiers)  est constant entre deux longueurs.

Donc a est un multiple de m^3 et d est un multiple de n^3 (le même multiple)

m^3 sera répété au moins 6 fois donc m < 5
Pour avoir un rapport inférieur au nombre d'or (x^2 -x -1 <0) on peut aussi éliminer les départ à m=1

On aura L = m^3 + 2n m^2 + 2m n^2 + n^3
Il reste donc :
m= 2 n=3
m=2 n=4
m=2 n=5
m=2 n=6
m=2 n=7
m=3 n=4
m=3 n=5
m=3 n=6
m=3 n=7
m=4 n=5
m=4 n=6


Avec le rapport phi comme limite, il ne reste que :
m=2 n=3 L = 95
m=3 n=4 L = 259
m=4 n=5 L = 549 (hors jeu )
m=4 n=6 (on peut donc  l'éliminer )

Il reste à voir que doubler 259 ne marche pas et que les plus proches multiples de 95 sont 380 et 475.

Pas de solution.

 #30 - 28-12-2014 11:07:43

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1381
Lieu: Coutiches

Gâteau 68

Pour résumer :
b=ak donc k est un rationnel : k=p/q avec p et q entiers.
k est aussi compris entre 1 et (1+V5)/2 à cause de l'inégalité triangulaire.
a est la plus petite des longueurs donc a<400/6 : a.max=66

Les valeurs possibles de a sont donc les multiples de 2^3=8 :
8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64
on a alors k qui est un multiple de 1/2 : seul 3/2 fonctionne (entre 1 et (1+V5)/2)

Avec 8 : 8 + 2*12 + 2*16 + 27 = 95 trop court
Avec 16 : 16 + 2*24 + 2*36 + 54 = 190 trop court
Avec 24 : somme = 285 trop court
Avec 32 : somme = 380 trop court
Avec 40 : somme = 475 trop long


Et ceux de 3^3=27 :
27; 54
Et alors k est un multiple de 1/3 : seul 4/3 fonctionne
Avec 27 : somme = 259 trop court
Avec 54 : somme = 518 trop long

Rien ne va. Où est mon erreur de raisonnement ?

 #31 - 28-12-2014 12:14:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4756

Gââteau 86

Que du bon smile

Beaucoup ont remarqué qu'avec ses 4m de ruban le pâtissier n'avait le choix qu'entre deux formes de gâteaux .

Vasimolo

 #32 - 29-12-2014 17:32:06

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2777
Lieu: Luxembourg

Gteau 86

Je trouve que les côtés des deux triangles sont: ab³; ab²c; abc² et ab²c; abc²; ac³ avec: a; b et c trois nombres entiers. Mais en paramétrant tout ça, je trouve que le seul cas qui fonctionne est deux triangles équilatéraux identiques de côté 66, ce qui n'est évidemment pas plausible.

 #33 - 29-12-2014 19:21:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4756

gâteay 86

Tout a été dit ou presque .

Les côtés du petit gâteau : a<b<c , donc pour le grand : ka<kb<kc avec k>1 . Mais alors b=ka et c=k²a donc les deux gâteaux : a<ka<k²a et ka<k²a<k³a . L'inégalité triangulaire nous dit que k²-k-1<0 donc 1<k<1,62 ( le nombre d'or pour être plus précis ) .

Le rapport k est rationnel k=p/q ( irréductible ) et a est un multiple de k³ la longueur de ruban utile est donc multiple de L=a(1+2k+2k²+k³)=n(p³+2p²q+2pq²+q³) .

Comme p>q , L>p³+5q³>400 si q>3 . Il ne reste donc que deux possibilités pour k : 3/2 et 4/3 qui nous donnent les gâteaux , n.(8 ; 12 ; 18 ; 27) et n.(27 ; 36 ; 48 ; 64)  donnant les plus petits restes :

R(32 ; 48 ; 72 ; 108) = 20 et R(27 ; 36 ; 48 ; 64)=141 .

On est largement au-delà des 10 cm proposés par le pâtissier .

On peut ne pas apprécier la formulation de l'énigme qui laissait entendre que le problème avait une solution , personnellement j'aime bien lollollol

Un grand merci à tous les participants smile

Vasimolo

 

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