Voici le code en java pour ceux que cela pourrait intéresser:

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public class PaillasseGateau {
    static double pi=Math.PI;
    public static void main(String[] args) {
        double a=Math.sqrt(3.0), n=1E9, c=3.0*a, h=0.5*Math.sqrt(3.0)*a, r=h/3.0, cpn=0.0, cp=0.0;
        for(int i=0;i*1.0<n;i++){
            double x=c*Math.random(), y=c*Math.random(); // choix aléatoire du centre du cercle insrit noté O
            double al=(2*pi)*Math.random(); // choix aléatoire de l'angle de fait le vecteur OB avec l'axe des x
            double xOB=2.0*r*Math.cos(al), yOB=2.0*r*Math.sin(al); // les coordonnées du vecteur OB sachant que ||OB||=2*r
            //calcul des coordonnées des vecteurs OA et OC par rotation resp. de 2*ip/3 de OB et OA
            double co=Math.cos(2.0*pi/3.0), si=Math.sin(2.0*pi/3.0), xOA=co*xOB-si*yOB, yOA=si*xOB+co*yOB, xOC=co*xOA-si*yOA, yOC=si*xOA+co*yOA;
            //déduction des coordonnées de A, B et C.
            double xC=xOC+x, yC=yOC+y,xB=xOB+x, yB=yOB+y, xA=xOA+x, yA=yOA+y;
            // test sur A, B et C, si au moins des 3 est à l'extérieur de la maille, cp est incrémenté de 1
            if(!interne(c,xA,yA)||!interne(c,xB,yB)||!interne(c,xC,yC)){
                cp+=1.0;
            }
        }
        //calcul des parts en divisant cp et n-cp par le nombre de tirage qui est n
        double pro=cp*1.0/n , pri=(n-cp)/n;
       
        System.out.println("Cas où ca coupe : "+pro);
        System.out.println("Cas où ca ne coupe pas : "+pri);
    }
    //cette méthode prend le coté de la maille et les coordonnées d'un point M(xm,ym) et teste si ce point est à l'intérieur ou pas de la maille
    private static boolean interne(double c, double xm, double ym){
        boolean ret=true;
        if(xm<=0.0 || ym<=0.0 || xm>=c || ym>=c){
            ret=false;
        }
        return ret;
    }
}

Pour le confort de lecture, je mets une capture d'écran à ce lien:
http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-Paillasses.png

J'ai mis le lien car l'affichage en photo n'est pas génial.

Je dirais BIGO au résultat d'Ebichu pour le coup
.

Je vais avoir très peu de temps libre durant les trois semaines à venir mais je reviendrai sur le problème plus tard

Il est clair que l'intérieur des différentes zones de la case 5 est parfaitement défini par des inégalités sur les angles a et b , idem pour la probabilité que le triangle touche les joints . En bref on doit pouvoir travailler directement sur les angles plutôt que sur les coordonnées cartésiennes ce qui devrait alléger fortement les calculs .

A bientôt

Vasimolo

Effectivement : fixer l'angle, puis déterminer les coordonnées qui conviennent, est incomparablement plus efficace que fixer les coordonnées, puis déterminer les angles qui conviennent. Les calculs sont au moins 10 fois plus rapides. La différence de complexité entre les deux méthodes est vraiment surprenante

Intuitivement, on a tendance à se diriger vers la deuxième façon de faire et à se compliquer la vie. C'est là la plus grosse difficulté de ce problème, et c'est une bonne leçon.

Pour n infini, là c'est tout de suite plus facile, je crois.